Apuntes algebra lineal y geometria vega (36)

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32 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
• La aplicación f : R3 ! R4 definida por
f(x, y, z) = (2x, 3x� z, 2y + z, x+ y + z)
es una aplicación lineal.
• La aplicación f : Rn ! Rm definida por f(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym) donde
yi =
nX
k=1
aikxk
para i = 1, . . . ,m es una aplicación lineal.
• La aplicación f : R3[X] ! R3[X] que a cada polinomio le asocia su derivada es una aplicación
lineal.
• La aplicación f : R3[X] ! R6[X] que a cada polinomio le asocia su cuadrado no es una aplicación
lineal. Para justificar esta afirmación basta comprobar que f(X+1) 6= f(X)+f(1): X2+2X+1 6=
x2 + 1
• Si U y W son subespacios de V tales que V = U �W entonces la aplicación de V en U que a
cada vector v = u+w con u 2 U y w 2 W , le asocia el vector u es una aplicación lineal, llamada
proyección de V sobre U (en la dirección de W ). A lo largo de este texto, dicha aplicación se
denotará habitualmente por pU,W .
Un ejemplo de esta situación se muestra a continuación. Sea V = R3, U = h{u1 = (1, 1, 1), u2 =
(2,�1, 0)}i y W = h{w = (0, 1, 4)}i. En este caso, cada vector v = (x, y, z) 2 V se escribe como
combinación lineal de u1, u2 y w en la forma
v = (x, y, z) =
2x+ 4y � z
5
u1 +
3x� 4y + z
10
u2
| {z }
en U
+
(�x� 2y + 3z)
10
w
de donde se deduce que pU,W : R3 ! U está definida por
pU,W (v) = pU,W (x, y, z) =
2x+ 4y � z
5
u1 +
3x� 4y + z
10
u2 =
=
⇣2x+ 4y � z
5
+ 2
3x� 4y + z
10
,
2x+ 4y � z
5
� 3x� 4y + z
10
,
2x+ 4y � z
5
⌘
¿Quién será pW,U (v)?
La figura siguiente muestra el significado de la proyección desde un punto de vista gráfico. Se
muestra el efecto de pU,W sobre el vector v =
⇣
2,
1
2
,
8
3
⌘
.
• Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas 3⇥ 3 con coeficientes reales, la aplicación
de M en R que a cada matriz le asocia el producto de los elementos de su diagonal principal no
es lineal.
• Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas n⇥n con coeficientes reales, la aplicación
de M en R que a cada matriz le asocia la suma de los elementos de su diagonal principal (su
traza) es lineal.
Proposición 2.1.1
Sea f : V ! W una aplicación lineal. Se tiene entonces: