Apuntes algebra lineal y geometria vega (47)

Vista previa del material en texto

2.4. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL 43
conocidas como ecuaciones de f respecto de las bases BV y BW .
El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial:
0
BBBBB@
y1
y2
...
...
ym
1
CCCCCA
=
0
BBBBB@
a11 a12 . . . . . . a1n
a21 a22 . . . . . . a2n
...
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . . . . amn
1
CCCCCA
·
0
BBBBB@
x1
x2
...
...
xn
1
CCCCCA
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación matricial de f respecto de las bases BV y BW y la
matriz (aij) de dicha ecuación se denomina matriz de la aplicación lineal respecto de las bases
BV y BW y la denotaremos por MBV ,BW (f).
Los siguientes ejemplos muestran el cálculo expĺıcito de la matriz asociada a una aplicación lineal
respecto un par de bases.
Ejemplo 2.4.2
• Si v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1,�1), v3 = (1, 1,�1,�1), v4 = (1,�1,�1,�1) y f : R4 ! R3 es la
aplicación lineal definida por
f(v1) = (1, 1, 1), f(v2) = (1, 1,�1)
f(v3) = (1,�1,�1), f(v4) = (�1,�1,�1)
entonces
MB,BC(f) =
0
@
1 1 1 �1
1 1 �1 �1
1 �1 �1 �1
1
A
considerando en R4 la base B = {v1, v2, v3, v4} y en R3 la base canónica BC . Si en R4 y en R3
consideramos las bases canónicas, teniendo en cuenta que
– la base canónica de R4 en función de B se expresa
e1 =
1
2
(v1 + v4), e2 =
1
2
(v3 � v4), e3 =
1
2
(v2 � v3), e4 =
1
2
(v1 � v2)
– cada f(vi) está expresado en la base canónica de R3
– f es lineal
entonces la matriz asociada a f respecto dichas bases es
0
@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
A .
• Sea g : R3[X] ! R2 la aplicación definida por g(p(X)) = (p0(1), p00(1)). Es inmediato que g es
lineal; la matriz asociada a g respecto de las bases canónicas de ambos espacios es
✓
0 1 2 3
0 0 2 6
◆