Apuntes algebra lineal y geometria vega (55)

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2.5. CAMBIOS DE BASE Y MATRICES EQUIVALENTES 51
2.5.2 M 0 = QMP
Todo lo visto anteriormente nos conduce de forma inmediata a la relación existente entre dos matrices
asociadas a una misma aplicación lineal pero referidas a bases distintas.
Teorema 2.5.1
Sea f : V ! W una aplicación lineal, BV y B0V bases de V y BW y B0W bases de W . Si M =
MBV ,BW (f) y M 0 = MB0V ,B0W (f) entonces M 0 = QMP donde P y Q son matrices regulares de
dimensiones n⇥ n y m⇥m respectivamente (P = MB0V ,BV (IV ) y Q = MBW ,B0W (IW )).
La relación anterior da pie a establecer la definición de matrices equivalentes.
Definición 2.5.1
Dos matrices M y M 0 se dice que son equivalentes si están asociadas a la misma aplicación lineal, o
lo que es lo mismo, si ambas tienen el mismo tamaño, m⇥ n, y existen matrices regulares P y Q, de
dimensiones n⇥ n y m⇥m respectivamente, verificando M 0 = QMP .
Desde un punto de vista práctico la definición anterior de matrices equivalentes es poco ”mane-
jable”. El siguiente resultado (y su contrapartida vectorial) permitira caracterizar las matrices equiv-
alentes en función de su rango (y de su tamaño).
Teorema 2.5.2
Si M es una matriz m⇥ n y de rango r, entonces es equivalente a una matriz de la forma
✓
Ir 01
02 03
◆
donde por Ir se denota la matriz identidad r⇥ r, por 01 la matriz nula de tamaño r⇥ (n� r), por 02
la matriz nula (m� r)⇥ r y por 03 la matriz nula (n� r)⇥ (n� r).
Teorema 2.5.3
Sea f : V ! W una aplicación lineal de rango r con n = dimV y m = dimW . Entonces existe BV
base de V y BW base de W tal que
MBV ,BW (f) =
✓
Ir 01
02 03
◆
donde por Ir se denota la matriz identidad r⇥ r, por 01 la matriz nula de tamaño r⇥ (n� r), por 02
la matriz nula (m� r)⇥ r y por 03 la matriz nula (n� r)⇥ (n� r).
Para demostrar el primer teorema (y el segundo) basta interpretarM como la matriz asociada a una
aplicación lineal f : V ! W (respecto algunas bases) donde V y W son K–espacios vectoriales de di-
mensiones n ym respectivamente, y realizar ciertos cambios de base. Si BV = {v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn}
es una base de V , donde {vr+1, . . . , vn} es una base de ker(f), y BW = {w1, . . . , wr, wr+1, . . . , wm} es
una base de W donde wi = f(vi) con i = 1, 2, . . . , r (comprueba que bajo estas condiciones los vec-
tores f(v1), . . . , f(vr) son linealmente independientes), entonces MBV ,BW (f) es de la forma descrita
en el/los enunciado/s.
Ejemplo 2.5.4
Sea
M =
0
@
1 1 2 0
1 �1 0 2
1 1 2 0
1
A ,