Apuntes algebra lineal y geometria vega (62)

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58 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
a) una aplicación lineal inyectiva de R4 en R3.
b) una aplicación lineal sobreyectiva de R4 en R3.
c) una aplicación lineal de R4 en R5 tal que su rango sea 5.
d) una aplicación lineal f de R5 en R4 tal que dimker(f) = 3.
Problema 2.6.9
Da un ejemplo, en cada uno de los casos siguientes, de una aplicación lineal f : R3 ! R3 verificando:
a) Ker(f) \ Im(f) 6= {~0}
b) Ker(f) ⇢ Im(f)
c) Im(f) ⇢ Ker(f)
Problema 2.6.10
Sean U y W dos subespacios no nulos de R5 tales que U �W = R5.
a) Determina todos los posibles valores de dimU para que pueda existir una aplicación lineal
f : R5 ! R2 tal que Ker(f) = U .
b) Determina todos los posibles valores de dimU para que pueda existir una aplicación lineal
f : R2 ! R5 tal que Im(f) = U .
Problema 2.6.11
Sean f : R3 ! R4 y g : R4 ! R3 dos aplicaciones lineales.
a) Demuestra que Ker(f) ⇢ Ker(g � f).
b) Demuestra que si g es sobreyectiva, entonces Im(f) ⇢ Im(f � g).
c) Supongamos que f y g verifican las siguientes condiciones:
i) dimKer(g � f) = 1
ii) dim Im(f � g) = 2
iii) g es sobreyectiva.
Deduce que en ese caso
· f no es inyectiva y Ker(f) = Ker(g � f).
· Im(f) = Im(f � g).