Apuntes algebra lineal y geometria vega (63)

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2.6. PROBLEMAS DE APLICACIONES LINEALES 59
Problema 2.6.12
Sea f :R4 ! R3 la aplicación lineal definida por f(x, y, z, t) = (x+ y + 2z, 2x� t, 0).
a) Escribe la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas.
b) Determina bases de ker(f), Im(f). ¿Es f inyectiva? ¿Es f sobre?
Problema 2.6.13
Se consideran de R2 en R2 las siguientes aplicaciones lineales:
i) f(x, y) = ((�1/2)x, (�1/2)y)
ii) g(x, y) = (x0, y0) siendo
✓
x0
y0
◆
=
✓
cos⇡/4 �sen ⇡/4
sen ⇡/4 cos⇡/4
◆✓
x
y
◆
iii) h(x, y) = (y, x)
iv) j(x, y) = (3x, 3y)
v) k(x, y) = (2x, 5y)
vi) l(x, y) = (x+ 3y, 2x+ y)
a) Da la matriz asociada a cada una de las aplicaciones anteriores respecto las bases canónicas.
¿Son todas automorfismos de R2?
b) Sea T = {(x, y) 2 R2 : 0  y  1, 0  x  1}. Representa gráficamente dicho conjunto y su
imagen por cada una de las aplicaciones definidas en este ejercicio.
c) ¿Daŕıas un nombre especial a alguna de las aplicaciones anteriores?
Problema 2.6.14
Se considera la aplicación lineal f :R3 ! R2 que respecto las bases canónicas tiene por matriz
A =
✓
1 �1 0
2 3 1
◆
a) Halla bases de ker(f), Im(f) y obtén las coordenadas del vector (1, 0, 2) respecto a una base de
R3 que contenga a la base del Kerf obtenida.
b) Sean B = {(�1, 0, 0), (1, 0, 2), (�1, 2, 0)}, y B0 = {(�1, 1), (�1, 2)} bases de R3 y R2 respectiva-
mente. Determina la matriz asociada a f respecto de estas nuevas bases.
c) Halla la matriz de f respecto a las bases C = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y C 0 = {f(1, 1, 1),
f(0, 1, 0)}.