Apuntes algebra lineal y geometria vega (65)

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2.6. PROBLEMAS DE APLICACIONES LINEALES 61
c) Halla una matriz inversible P tal que A0 = P�1AP .
Problema 2.6.18
Se considera un endomorfismo f de R3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
A =
1
9
0
@
9 0 0
2 5 8
1 �2 13
1
A
a) Halla la matriz M que representa a f respecto la base B = {v1 = (0, 2, 1), v2 = (2, 1, 0), v3 =
(1, 0, 2)}.
b) Halla las potencias An para n 2 N.
c) ¿Existe un subespacio U de R3 de dimensión 2 tal que f(u) = u 8u 2 U?
Problema 2.6.19
Sea < el conjunto formado por las matrices reales de tamaño 5⇥ 5 que son de la forma
A(a1, a2, a3, a4, a5) =
0
BBBB@
a1 0 0 0 0
a2 a1 0 0 0
a3 a2 a1 0 0
a4 a3 a2 a1 0
a5 a4 a3 a2 a1
1
CCCCA
(<,+, ·R) es un R-espacio vectorial.
a) Sean I = A(1, 0, 0, 0, 0), M = A(0, 1, 0, 0, 0) y B = {I,M,M2,M3,M4}. Demuestra que B es
una base de < y que Mk es la matriz nula 5⇥ 5 si k � 5.
b) Sea N = A(1, 2, 3, 4, 5). Escribe N en función de la base B, y calcula N�1 sabiendo que N�1
está en <.
c) Sea t : < ! R la aplicación lineal que a cada matriz le asocia la suma de los elementos de su
diagonal principal.
· Determina la matriz asociada a t cuando en el espacio inicial se considera la base B y en el
espacio final se considera la base B1 = {1/5}.
· Determina Im(t) y Ker(t).