Apuntes algebra lineal y geometria vega (66)

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62 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
Problema 2.6.20
Halla los valores de a 2 R para los que el sistema de ecuaciones (A) es indeterminado. Discute y halla
la solución general según el parámetro a 2 R del sistema (B)
(A)
8
>>>><
>>>>:
x1 + x2 + x3 + . . .+ xn+1 = 0
x1 + ax2 + x3 + . . .+ xn+1 = x2
x1 + x2 + ax3 + . . .+ xn+1 = 2x3
...
...
x1 + x2 + x3 + . . .+ axn+1 = nxn+1
(B)
8
>><
>>:
2x+ 3y + z + 2t = 3
4x+ 6y + 3z + 4t = 5
6x+ 9y + 5z + 6t = 7
8x+ 12y + 7z + at = 9
Problema 2.6.21
Sea f : R4 ! R3 la aplicación definida por
f(x, y, z, t) = (3x+ z, z, x+ y � z + t)
1. Determina un subespacio U de R4 tal que R4 = U �Ker(f).
2. ¿Es posible hallar un subespacio no nulo W de R3 tal que R3 = W � Im(f)?
3. Sea (a, b, c) un vector cualquiera de R3. Sin intentar resolver el sistema responde justificadamente
la siguiente cuestión. ¿Es verdadero o falso que el sistema
8
<
:
3x+ z = a
z = b
x+ y � z + t = c
siempre tiene solución?
Problema 2.6.22
Construye, si existe, una aplicación lineal suprayectiva f :R3 ! R2. En caso de haberla construido,
¿es alguna de las siguientes matrices una matriz asociada a f? ¿Por qué?
✓
1 0 0
0 0 0
◆ ✓
1 0 0
0 1 0
◆ ✓
1 0 1
0 1 0
◆
Problema 2.6.23
Sea f :R5 ! R3 una aplicación lineal que respecto de las bases canónicas tiene por matriz, la matriz
A siguiente. ¿Existen matrices inversibles P (5⇥ 5) y Q(3⇥ 3) tal que QAP sea la que a continuación
se indica? En caso afirmativo calcúlalas.
A =
0
@
1 0 0 1 0
1 1 2 2 3
�1 1 2 0 3
1
A QAP =
0
@
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1
A