Apuntes algebra lineal y geometria vega (73)

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Lección 3
La Teoŕıa del Endomorfismo
La noción de autovalor y autovector de una matriz cuadrada es una de las herramientas más potentes
que el Algebra Lineal proporciona para la resolución de gran cantidad de problemas que aparecen
en Cienćıa y Tecnoloǵıa. Para ilustrar lo que decimos, consideramos el siguiente ejemplo de carácter
económico.
Un conocido empresario comenta en una entrevista la forma en que logró hacer, honradamente, su
fortuna. Inició su andadura en los negocios con un capital de 200 euros, producto de sus ahorros. Tras
un año de trabajo como repartidor de pizzas teńıa en su haber 1300 euros. A partir de ese momento,
decide comprar cada año bienes por un importe igual a seis veces el valor de su capital a principios del
año anterior, y venderlos por cuatro veces el valor de su capital al inicio del año en curso. Con esta
estrategia el empresario conoćıa que en sólo 6 años conseguiŕıa un capital superior al medio millón de
euros.
Si un representa las ganancias a principios del año n-ésimo, la información dada puede expresarse
mediante la siguiente relación:
✓
un+2
un+1
◆
=
✓
5 �6
1 0
◆n+1✓
u1
u0
◆
(3.1)
donde n � 0.
Mediante técnicas que aprenderemos en este caṕıtulo, podrá comprobarse que
✓
5 �6
1 0
◆
=
✓
3 2
1 1
◆✓
3 0
0 2
◆✓
1 �2
�1 3
◆
(3.2)
Esta igualdad permite operar más cómodamente y afirmar que la expresión 3.1 puede escribirse como
✓
un+2
un+1
◆
=
✓
3 2
1 1
◆✓
3n+1 0
0 2n+1
◆✓
1 �2
�1 3
◆✓
u1
u0
◆
(3.3)
A partir de la cual es inmediato deducir que
un+2 = 900 · 3n+2 � 700 · 2n+2
Esta expresión era a la que hab́ııa llegado el empresario cuando decidió la estrategia a seguir.
Observar que en el ejemplo anterior, la igualdad 3.2 muestra una relación del tipo M = Q�1DQ
donde M representa la matriz de partida y D una matriz diagonal: Los valores de la diagonal principal
de D son los ‘autovalores’ de M , concepto, entre otros que forma parte del tema que estamos iniciando.
Pero antes de comenzar con los aspectos propios de esta lección, vamos a realizar una serie de
puntualizaciones.
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