Apuntes algebra lineal y geometria vega (75)

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3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 71
Figura 3.1: Acción del endomorfismo f sobre algunos vectores de R2
Demostración.
Si u1 y u2 son linealmente dependientes entonces u1 = �u2 con � 6= 0 puesto que u1 y u2 son
autovectores. Se tiene asi
↵1u1 = f(u1) = f(�u2) = �f(u2) = �↵2u2 = ↵2u1
y por ello ↵1 = ↵2, lo cual constituye una clara contradicción.
El resultado anterior se generaliza de forma sencilla al caso de s autovectores procedentes de s
autovalores distintos. A continuación se muestra cómo calcular los autovalores (y los autovectores)
asociados a un endomorfismo, lo que conducirá de forma natural a la definición de polinomio carac-
teŕıstico de un endomorfismo y de una matriz.
Proposición 3.1.2 Sea f :V ! V un endomorfismo, B una base de V y A = MB(f). Un elemento ↵
en K es un autovalor de f si y sólo si
det(↵In �A) = 0
donde In denota la matriz identidad de dimensión n y n = dim(V ).
Definición 3.1.2 Sea A una matriz cuadrada de dimensión n y coeficientes en K. Se define el
polinomio caracteŕıstico de A como:
PA(X) = det(XIn �A)
donde In denota la matriz identidad de dimensión n.
• La manipulación de algunas matrices concretas (que pueden ser elegidas por el propio lector)
permite observar el siguiente resultado cuya prueba se deja como ejercicio.
Si pA(X) = anXn + an�1Xn�1 + · · ·+ a1X + a0 es el polinomio caracteŕıstico de una matriz A,
entonces an = 1, an�1 = �traza(A), a0 = (�1)ndet(A).
Definición 3.1.3 Sea f :V ! V un endomorfismo, B una base de V y A = MB(f). Se define el
polinomio caracteŕıstico de f como:
Pf (X) = PA(X)