Apuntes algebra lineal y geometria vega (82)

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78 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Ejercicio 3.1.1.4
Sea f el endomorfismo de R3 definido, respecto de la base canónica por la matriz siguiente:
A =
0
@
1 1 �2
1 1 2
2 �2 6
1
A
1. Determinar el polinomio caracteŕıstico de f .
2. Hallar Vf (↵), para cada valor propio ↵.
3. ¿Es f diagonalizable? En caso afirmativo, hallar una matriz regular P de tamaño 3⇥ 3 tal que
P�1AP sea diagonal.
Ejercicio 3.1.1.5
Sea f el endomorfismo de R3 definido, respecto de la base canónica por la matriz siguiente:
A =
0
@
2 1 1
0 3 �1
0 1 1
1
A
1. Determinar el polinomio caracteŕıstico de f .
2. Hallar Vf (↵), para cada valor propio ↵.
3. ¿Es f diagonalizable? En caso afirmativo, hallar una matriz regular P de tamaño 3⇥ 3 tal que
P�1AP sea diagonal. En caso negativo, hallar una matriz regular P de tamaño 3 ⇥ 3 tal que
P�1AP sea triangular.
Ejercicio 3.1.1.6
Sea f el endomorfismo de R3 definido, respecto de la base canónica por la matriz siguiente:
A =
0
@
2 1 1
0 3 �1
0 1 1
1
A
1. Se consideran los polinomios p(X) = X2 + 2 y q(X) = 3X2 +X + 1. Hallar las matrices p(A)
y q(A), y determinar la imagen del vector (1, 1, 1) respecto de los endomorfismos de R3 p(f) y
q(f).
2. Con ayuda del último apartado del ejercicio anterior, obtener los valores propios de q(f), y
comprobar que si los valores propios de f son ↵,�, �, los de q(f) son q(↵),q(�) y q(�).
Ejercicio 3.1.1.7
Sea f un endomorfismo de C3. Justificar cada una de las afirmaciones siguientes, en las que ↵ y �
representan números complejos, y
p
�1 está representado por i.
1. Si pf (X) = (X � ↵)2(X � �) entonces dimV↵(f)  2.
2. Si ↵ es un autovalor de f y dimV↵(f) = 3 entonces f es diagonalizable y pf (X) = (X � ↵)3.
3. Si pf (X) = (X � ↵)2(X � �) y dimV↵(f) = 1 entonces f no es diagonalizable.
4. Si pf (X) = (X2 + 1)(X � 2), entonces f es diagonalizable.