Apuntes algebra lineal y geometria vega (83)

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3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 79
5. Si pf (X) = (X � i)2(X � 2), no está garantizado que f sea diagonalizable.
Ejercicio 3.1.1.8
Sean f : R3 ! R4 y g : R4 ! R3 las aplicaciones lineales definidas, respecto de las bases canónicas
correspondientes, por las matrices A y B siguientes:
A =
0
BB@
1 1 1
1 2 0
1 2 0
1 2 1
1
CCA B =
0
@
1 1 2 2
1 �1 �1 �1
1 0 �1 �1
1
A
Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
1. g � f es diagonalizable.
2. g � f es inyectiva.
Ejercicio 3.1.1.9
Sea f el endomorfismo de R4 que tiene por matriz asociada respecto de la base canónica la matriz
M = MBc(f) =
0
BB@
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1
CCA
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1. e1 + e4 es vector propio asociado a algún autovalor de f .
2. 2,�2,
p
6,�
p
6 son los valores propios asociados a f .
3. f no es diagonalizable.
4. 2e1 + e4 es vector propio asociado a algún autovalor de f .
Ejercicio 3.1.1.10
Se considera la matriz siguiente
A =
0
BBBBBBBB@
1/6 1 0 0 0 0 0
1/6 0 1 0 0 0 0
1/6 0 0 1 0 0 0
1/6 0 0 0 1 0 0
1/6 0 0 0 0 1 0
1/6 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCA
1. Calcular el polinomio caracteŕıstico de A y comprobar que
pA(X) =
1
6
X(X � 1)(6X5 + 5X4 + 4X3 + 3X2 + 2X + 1)
2. El polinomio q(X) = 6X5 + 5X4 + 4X3 + 3X2 + 2X + 1 posee una raiz real, que es es distinta
de 0 y distinta de 1. ¿Por qué?