Apuntes algebra lineal y geometria vega (86)

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82 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
...
M1 �M2A = b2In
M0 �M1A = b1In
�M0A = b0In
A la primera de las igualdades anteriores la multiplicamos por An, a la segunda por An�1, a la
tercera por An�2, ..., a la penúltima por A, y a la última por In, obteniendo:
Mn�1A
n = An
Mn�2A
n�1 �Mn�1An = bn�1An�1
Mn�3A
n�2 �Mn�2An�1 = bn�2An�2
...
M1A
2 �M2A3 = b2A2
M0A�M1A2 = b1A
�M0A = b0In
Sumando miembro a miembro estas igualdades, obtenemos [0] = PA(A) donde [0] denota la matriz
nula de tamaño n⇥ n.
Proposición 3.2.1
Sea A una matrix n ⇥ n con coeficientes en K, y sea m(X) un polinomio mı́nimo de A. Se verifica
entonces:
1. Si p(X) es un polinomio de K[X], p(A) es la matriz nula si y sólo si p(X) es múltiplo de m(X).
2. El polinomio mı́nimo de A es único, y lo vamos a denotar por mA(X).
3. El polinomio caracteŕıstico de una matriz es múltiplo de su polinomio mı́nimo.
4. Si B es una matriz semejante a A, mA(X) = mB(X).
La demostración del punto 1 de la proposición se basa en el concepto de división euclidea de polinomios.
El segundo de los puntos se deduce del primero junto con el hecho de que los polinomios son mónicos.
El tercero es consecuencia del punto 1 y del teorema de Cayley-Hamilton, y el cuarto:
Si A y B son semejantes, A = P�1 ·B · P , entonces
mB(A) = mB(P
�1 ·B · P ) = P�1 ·mB(B) · P = P�1[0]P = [0]
y, como consecuencia, mA(X) es un divisor de mB(X). Como un razonamiento análogo prueba que
mB(X) es un divisor de mA(X), y ambos son mónicos, han de coincidir.
Este último hecho nos permite definir, sin problemas, el polinomio mı́nimo de un endomorfismo.
Definición 3.2.2
Para cualquier endomorfismo f de un espacio vectorial V , se define polinomio mı́nimo de f como
el polinomio mı́nimo de cualquiera de sus matrices asociadas. A dicho polinomio lo denotamos por
mf (X)
Ejemplo 3.2.1
A continuación se muestran algunos ejemplos de endomorfismos y matrices, junto con sus polinomios
mı́nimos: