Apuntes algebra lineal y geometria vega (87)

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3.2. EL POLINOMIO MÍNIMO DE UN ENDOMORFISMO 83
• El polinomio caracteŕıstico de la matriz identidad de tamaño n⇥ n es (X � 1)n y su polinomio
mı́nimo es (X � 1).
• La matriz
A =
✓
1 �1
1 �1
◆
tiene por polinomio caracteŕıstico y polinomio mı́nimo X2.
• El polinomio caracteŕıstico de la matriz
A =
0
@
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
A
es (X � 1)2(X � 2) y su polinomio mı́nimo es (X � 1)(X � 2).
• Si
A =
0
BB@
1 �1 2 3
1 �1 0 0
0 0 1 �1
0 0 0 0
1
CCA
entonces PA(X) = X3(X�1) y su polinomio mı́nimo será alguno de los siguientes: X,X2, X3, X(X�
1), X2(X�1), X3(X�1). ¿Cuántos intentos seŕıan necesarios para poder concluir que mA(X) =
X2(X � 1)?
El siguiente enunciado establece una cierta relación entre los factores irreducibles del polinomio
caracteŕıstico y los del polinomio mı́nimo de una matriz, y con él se reduce el número de intentos
entre los divisores del polinomio caracteŕıstico para obtener el polinomio mı́nimo. Sobra añadir su
equivalente en términos de endomorfismos.
Teorema 3.2.2
Sea A una matrix n⇥n con coeficientes en K, PA(X) su polinomio caracteŕıstico y mA(X) su polinomio
mı́nimo. Se verifica entonces que todo factor irreducible de PA(X) es factor irreducible de mA(X).
Demostración.
Para probar este resultado vamos a probar que PA(X) es un divisor de (mA(X))n, lo que garantiza
que todo factor irreducible de PA(X) lo es de (mA(X))n, y como consecuencia de mA(X). Sea
mA(X) = Xr + cr�1Xr�1 + . . .+ c1X + c0 con r  n y ci 2 K.
Consideramos las siguientes matrices:
B0 = In
B1 = A+ cr�1In
B2 = A2 + cr�1A+ cr�2In
...
Br�2 = Ar�2 + cr�1Ar�3 + . . .+ c3A+ c2In
Br�1 = Ar�1 + cr�1Ar�2 + . . .+ c3A2 + c2A+ c1In
(3.8)