Apuntes algebra lineal y geometria vega (93)

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3.3. SUBESPACIOS INVARIANTES 89
• A1 es una matriz d ⇥ d correspondiente al endomorfismo f1 de V1 con polinomio caracteŕıstico
PA1(X) = (X � ↵1)d (s1  d).
• A2 es una matriz (n � d) ⇥ (n � d) correspondiente al endomorfismo f2 de V2 con polinomio
caracteŕıstico un múltiplo de b(X).
El polinomio caracteŕıstico de A,
PA(X) = (X � ↵1)r1 · (X � ↵2)r2 · . . . · (X � ↵l)rl ,
es el producto de PA1(X) y de PA2(X), polinomios primos entre si. Esto implica que:
PA1(X) = (X � ↵1)r1 y PA2(X) = (X � ↵2)r2 . . . (X � ↵l)rl .
Se concluye finalmente que dim(V1) = d = r1.
Corolario 3.3.1
Sea f un endomorfismo de V con polinomio caracteŕıstico
Pf (X) = (X � ↵1)r1 · (X � ↵2)r2 · . . . · (X � ↵l)rl
y con polinomio mı́nimo
mf (X) = (X � ↵1)s1 · (X � ↵2)s2 · . . . · (X � ↵l)sl
siendo 1  si  ri y ↵i 6= ↵j si i 6= j.
1. V = V1 � V2 � . . .� Vl siendo Vi = ker(f � ↵i)si un subespacio f -invariante cuya dimensión es
ri (i = 1, 2, . . . , l).
2. f es diagonalizable si y sólo si si = 1 para todo i, esto es, si y sólo si el polinomio mı́nimo es
mf (X) = (X � ↵1) · (X � ↵2) · . . . · (X � ↵l).
Para mostrar que el resultado de la proposición anterior es en parte generalizable al caso de tener
un endomorfismo f cuyo polinomio mı́nimo sea de la forma mf (X) = a(X) · b(X) donde a(X) y
b(X) son polinomios primos entre si (con todas sus ráıces o no en el cuerpo K), se presenta siguiente
ejemplo:
Ejemplo 3.3.3
Sea f : R3 ! R3 un endomorfismo tal que
MBc(f) =
0
@
�1 �1 2
1 �1 1
�3 �1 4
1
A .
El polinomio caracteŕıstico y el polinomio mı́nimo de f coinciden y son (X � 2)(X2+1). Si se denota
a(X) = (X�2) y b(X) = (X2+1), V1 = ker(a(f)) y V2 = ker(b(f)), puede probarse que R3 = V1�V2
y que V1 y V2 son f -invariantes. Esto último asegura que la matriz asociada a f respecto de la base
de R3 determinada por las bases de V1 y V2 es diagonal por cajas.