Problemario algebra (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
FLORENCIO GUZMÁN AGUILAR
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Problema 1.1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
i)
2x + y − 2z = 10
−6x− 4y − 4z = −2
5x + 4y + 3z = 4
ii)
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4
2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3
5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5
iii)
x + y − 2z + 4w = 5
2x + 2y − 3z + w = 3
3x + 3y − 4z − 2w = 1
Solución:
i)
2x + y − 2z = 10
−6x− 4y − 4z = −2
5x + 4y + 3z = 4
(R2 + 3R1 → R2)
(2R3 − 5R1 → R3)
2x + y − 2z = 10
−y − 10z = 28
3y + 16z = −42
(R3 + 3R2 → R3)
2x + y − 2z = 10
−y − 10z = 28
−14z = 42
(R1/2 → R1)
(−R2 → R2)
(−R3/14 → R3)
x + y/2− z = 5
y + 10z = −28
z = −3
(R1 + R3 → R1)
(R2 − 10R3 → R2)
x + y/2 = 2
y = 2
z = −3
(R1 −R2/2 → R1)
x = 1
y = 2
z = −3
solución única
ii)
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4
2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3
5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5
(R2 − 2R1 → R2)
(R3 − 5R1 → R3)
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4
x2 + 7x3 − 7x4 = −5
2x2 + 14x3 − 14x4 = −15
(R3 − 2R2 → R3)
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4
x2 + 7x3 − 7x4 = −5
0 = 5
sin solución
iii)
x + y − 2z + 4w = 5
2x + 2y − 3z + w = 3
3x + 3y − 4z − 2w = 1
(R2 − 2R1 → R2)
(R3 − 3R1 → R3)
x + y − 2z + 4w = 5
z − 7w = −7
2z − 14w = −14
(R3 − 2R2 → R3)
x + y − 2z + 4w = 5
z − 7w = −7
0 = 0
R1 ⇒ x = 5− y + 2z − 4w
R2 ⇒ z = 7w − 7
y = α ∈ R
w = β ∈ R parámetros libres ⇒
x = 5− α + 10β − 14
y = α
z = 7β − 7
w = β
soluciones infinitas
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Problema 1.2: Para que valores del parámetro k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
i) tiene solución única.
ii) no tiene solución.
iii) tiene soluciones infinitas.
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
Solución:
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
(R1 ↔ R3)
x + y + kz = 1
x + ky + z = 1
kx + y + z = 1
(R2 −R1 → R2)
(R3 − kR1 → R3)
x + y + kz = 1
(k − 1)y + (1− k)z = 0
(1− k)y + (1− k2)z = 1− k
(R3 + R2 → R3)
x + y + kz = 1
(k − 1)y + (1− k)z = 0
((1− k) + (1− k2))z = 1− k
−R3 ⇒ (k2 + k + 2)z = k − 1 ⇒ (k + 2)(k − 1)z = k − 1
De esta última ecuación inferimos los siguientes resultados para la solución,
i) tiene solución única si
(k + 2)(k − 1) 6= 0 ⇒ k 6= −2 y k 6= 1
ii) no tiene solución si
(k + 2)(k − 1) = 0 y k − 1 6= 0 ⇒ k = −2 y k 6= 1
iii) tiene soluciones infinitas si
(k + 2)(k − 1) = 0 y k − 1 = 0 ⇒ k = −2 y k = 1