Apuntes algebra lineal y geometria vega (194)

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190 CUESTIONARIO
2. Si J es la forma de Jordan de una matriz M cuyos autovalores son 1, 2, 3, entonces J no es
nilpotente.
3. Si J es la forma de Jordan de una matriz M , y J es nilpotente, entonces el polinomio carac-
teŕıstico de M tiene como único factor irreducible X.
4. Los autovalores de una matriz y su forma de Jordan pueden ser distintos.
Cuestión 41
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
1. Dos matrices semejantes tienen el mismo rango, el mismo polinomio caracteŕıstico y el mismo
polinomio mı́nimo.
2. Una matriz y su forma de Jordan tienen el mismo rango, el mismo polinomio caracteŕıstico y el
mismo polinomio mı́nimo.
3. Dos matrices de igual tamaño pueden tener el mismo rango, el mismo polinomio caracteŕıstico
y el mismo polinomio mı́nimo, y no ser semejantes.
4. Si dos matrices de igual tamaño tienen polinomos mı́nimos diferentes, entonces no son semejantes.
Cuestión 42
Se consideran las siguientes matrices de tamaño 6⇥ 6:
A =
0
BBBBBB@
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
1
CCCCCCA
B =
0
BBBBBB@
1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
1
CCCCCCA
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1. Las matrices A y B son de Jordan.
2. Las matrices A y B tienen el mismo rango, el mismo polinomio caracteŕıstico y el mismo poli-
nomio mı́nimo.
3. Las matrices A y B no son semejantes.
4. Las matrices A y B son semejantes.
Cuestión 43
Se consideran las matrices
A =
0
@
a 0 0
0 b c
d 0 2
1
A B =
0
@
2 0 0
0 1 1
0 0 1
1
A .
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.