Apuntes algebra lineal y geometria vega (195)

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CUESTIONARIO 191
1. Si a = b = 1 y cd 6= 0, entonces las matrices A y B son semejantes.
2. A y B tienen igual forma de Jordan si y sólo si se da una de las condiciones siguientes
(a = b = 1, c 6= 0) o (a = b = 1, d 6= 0).
3. Si c = d = 0, entonces A y B no tienen la misma forma de Jordan.
4. Si A y B son semejantes entonces a = b = 1.
Cuestión 44
Sea f un endomorfismo de un R-espacio vectorial de dimensión 300 y A una de sus matrices asociadas.
¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?
1. Si f3 � 3f = f entonces el polinomio caracteŕıstico de f es pf (X) = (X � 2)r(X + 2)sXt con
r + s+ t = 300 y r, s, t � 0 y f es diagonalizable.
2. Si f es inyectivo, f3�2f2 = �f y el subespacio propio asociado al valor propio 1 tiene dimensión
1, entonces la matriz de Jordan de f es la matriz J = (xij) donde xij = 1 si j = i o j = i+ 1 y
0 en el resto de los casos.
3. Si f3 � 3f = f entonces f es un isomorfismo.
4. Si pf (X) = (X � 1)100(X � 2)200 y los rangos de las matrices A � I y A � 2I son 200 y 299
respectivamente, entonces la forma de Jordan de f es
J =
✓
J1 0
0 J2
◆
donde
· J1 es la matriz identidad de orden 100,
· J2 = (xij) es una matriz 200⇥ 200 tal que xii = 2, xii+1 = 1 para todo i y
· los ceros son matrices nulas de tamaños adecuados.