Apuntes algebra lineal y geometria vega (101)

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3.5. CÁLCULO APROXIMADO DE AUTOVALORES 97
3.5 Cálculo aproximado de autovalores
Consideremos la matriz
A =
0
BB@
1 1 1 �1
�2 1 �1 1
�1 1 �1 1
1 1 0 �1
1
CCA
cuyo polinomio caracteŕıstico es
PA(X) = X
4 +X2 +X + 2
Las soluciones de la ecuación PA(X) = 0 son dificilmente expresables de forma exacta y por lo tanto
la única posibilidad en este momento es aproximarlas. Para este caso particular se obtiene que hay
cuatro autovalores (complejos) cuyas aproximaciones son
↵1 = �0.574� 0.678i ↵2 = �0.574 + 0.678i
↵3 = 0.574� 1.483i ↵4 = 0.574 + 1.483i
En general, la aproximación de los autovalores mediante el cálculo de las soluciones del polinomio
caracteŕıstico a través de un método numérico es altamente arriesgado ya que en muchas aplicaciones
prácticas los coeficientes de la matriz A se conocen de forma aproximada y estamos acumulando dos
tipos de errores: los que aparecen al calcular PA(X) y los que origina la aproximación de las soluciones
de la ecuación PA(X) = 0.
Uno de los métodos más usados en la práctica para el cálculo aproximado de autovalores es el
método de la potencia. Sea A una matriz de orden n y supongamos que todos sus autovalores,
↵1, . . . ,↵n, son reales, distintos y sea ↵1 el autovalor verificando
|↵i|  |↵1|, 2  i  n
Sea ui el autovector asociado al autovalor ↵i y consideremos x1, . . . , xn números reales arbitrarios.
Entonces:
A ·
✓ nX
j=1
xjuj
◆
=
nX
j=1
↵jxjuj
A2 ·
✓ nX
j=1
xjuj
◆
=
nX
j=1
↵2jxjuj
...
Ak ·
✓ nX
j=1
xjuj
◆
=
nX
j=1
↵kjxjuj
Si ponemos
X0 =
nX
j=1
xiui, Xk = A
k ·X0
entonces (si ↵1 6= 0)
lim
k!1
Xk
↵k1
= x1u1
Consideremos el siguiente esquema para k 2 {0, 1, 2, . . .}
• Yk+1 = A ·Xk,
• �k+1 =mayor coordenada de Yk+1 en valor absoluto, y