Apuntes algebra lineal y geometria vega (103)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 99
3.6 Problemas de la Teoŕıa del Endomorfismo
Problema 3.6.1
Sea f : V ! V un endomorfismo cuyos autovalores son �1, 0 y 1, con autovectores asociados v1, v2, v3
respectivamente. Encontrar un vector v tal que f(v) = v1+v3. ¿Existirá un vector v tal que f(v) = v1?
Problema 3.6.2
Utilizando matrices cuadradas de tamaños 2⇥2, 3⇥3, 4⇥4. Descubre la relación entre el determinante
de la matriz, la suma de los valores propios, ... y los coeficientes de su polinomio caracteŕıstico.
Problema 3.6.3
Sea f un endomorfismo de un K–espacio vectorial V . Un subespacio W de V se dice invariante por f
ó f–invariante si f(W ) está contenido en W .
a) Demuestra que {0} y V son subespacios invariantes por f .
b) Sea W un subespacio de V de dimensión 1. Demuestra que W es f–invariante si y sólo si W
está generado por un vector propio.
c) Demuestra que los únicos subespacios de R2 invariantes por el endomorfismo de matriz
✓
2 �5
1 �2
◆
son {0} y R2.
Problema 3.6.4
Sea V un R–espacio vectorial.
a) Demuestra que si V es de dimensión impar, para todo endomorfismo de V existe un vector
propio.
b) Si V es de dimensión par, y f es un endomorfismo de V con determinante negativo, demuestra
que f tiene al menos dos valores propios reales.
Problema 3.6.5
Sea f un endomorfismo de Rn.
a) Si v y w son autovectores de f asociados a autovalores distintos, demuestra que av+bw (a, b 6= 0)
no es vector propio de f .
b) Si cualquier vector de Rn es vector propio de f , demuestra que f = ↵I (con ↵ un cierto número
real e I la aplicación identidad en Rn).