Apuntes algebra lineal y geometria vega (108)

Vista previa del material en texto

104 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
1. Determina bases de Ker(f) y de Im(f).
2. Halla bases B de R4 y B0 de R3 para las que
MB,B0(f) =
✓
Ir 0
0 0
◆
siendo Ir la matriz identidad de tamaño r ⇥ r y los 00s matrices nulas de tamaños adecuados.
3. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?: Existen bases B1 de R4 y B01 de R3 tal que
MB1,B01(f) =
0
@
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0
1
A .
4. Sea g : R3 ! R4 la aplicación lineal tal que
MB0,B(g) =
0
BB@
1 1 0
1 1 0
1 0 1
0 0 1
1
CCA
donde B y B0 son las bases del segundo apartado. ¿Es la aplicación f�g : R3 ! R3 diagonalizable?
Problema 3.6.23
Blancanieves distribuyó 3 litros de leche a los siete enanitos. A continuación el primero de ellos
distribuyó el contenido de su taza de modo uniforme a las otras seis tazas, después el segundo hizo lo
mismo, y aśı sucesivamente. Cuando el séptimo enanito hubo realizado la misma operación, se pudo
comprobar que cada uno de los enanos teńıa exactamente la misma cantidad de leche en su taza que
al comienzo. ¿Cuál fue la distribucón inicial de leche? Esta es la pregunta a la que se debe responder
y para lo que se va a seguir el siguiente procedimiento.
1. Identifiquemos cada distribución inicial de leche con un vector v de R7, v = (x1, · · · , x7), donde
cada xk denota la cantidad de leche en la taza k. La distribución realizada por cada uno de los
enanitos puede ser interpretada como una aplicación lineal tk, (k = 1, · · · , 7) de R7 en śı mismo.
Describe cada tk por la matriz Tk asociada respecto de la base canónica.
2. Explica por qué el problema queda resuelto hallando un vector u de R7,u = (a1, · · · , a7), tal que
t(u) = u con t = t7 � · · · � t1 y
P7
k=1 ak = 3.
3. Mediante las instrucciones que aparecen en el primero de los cuadros siguientes puedes realizar
el cálculo efectivo del vector u del apartado anterior utilizando Maple.
4. En este apartado se da un método alternativo para el cálculo del vector u.
• Sea p : R7 ! R7 la aplicación lineal definida por la matriz (respecto de la base canónica)
P = (pij) donde p71 = 1, pi,i+1 = 1 y pij = 0 en el resto de los casos. ¿Qué efecto produce
sobre las tazas la matriz P? Determina A = P · T1 y describe el efecto producido al
aplicar siete veces consecutivas el endomorfismo s de R7 definido por A (es decir, el efecto
producido por s7). ¿El procedimiento s7 y el procedimiento original, t, tienen el mismo
efecto? ¿Calcular el vector u del segundo apartado es equivalente a calcular un vector
u 2 ker(s7 � I) con
P7
k=1 ak = 3? Para dar respuesta a esto, ayúdate de Maple (segundo
cuadro)