Apuntes algebra lineal y geometria vega (115)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 111
Problema 3.6.42
Sea A una matriz no nula 1001⇥ 1001 tal que A3 = 4A.
1. Estudia para qué valores de ↵ el sistema de ecuaciones siguiente puede tener solución no trivial,
es decir distinta de la nula.
A ·
0
BB@
x1
x2
...
x1001
1
CCA =
0
BB@
↵x1
↵x2
...
↵x1001
1
CCA
2. Describe las posibles formas de Jordan de la matriz A
Problema 3.6.43
Se considera la siguiente matriz de tamaño n ⇥ n: M = (aij) donde aij = 0 si i 6= j y aii = i para
1  i  n. Sea f : Rn ! Rn el endomorfismo que respecto de la base B = {en, en�1, . . . , e1} tiene por
matriz asociada a M .
1. ¿Cuál es la matriz M 0 asociada a f respecto de la base canónica Bc = {e1, e2, . . . , en}?
2. Determina las matrices P y P�1 tales que M 0 = P�1MP ,
3. Halla los polinomios mı́nimos de M y P . ¿Es P diagonalizable?
Problema 3.6.44
Se considera la siguiente matriz de tamaño n ⇥ n: M = (aij) donde aij = 0 si i 6= j y aii = i4 para
1  i  n. Halla una matriz A tal que A2 = M
Problema 3.6.45
Se considera el endomorfismo f de R7 que respecto de la base canónica tiene por matriz asociada la
siguiente: 0
BBBBBBBB@
1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
�1 �1 �1 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 �1 �1 0
1
CCCCCCCCA
1. Determina una base de R7 respecto de la cuál la matriz asociada a f sea de Jordan.
2. Halla el polinomo caracteŕıstico y el polinomio mı́nimo de f .