Apuntes algebra lineal y geometria vega (119)

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Lección 4
Geometŕıa Eucĺıdea
4.1 Producto escalar y ortogonalidad
En esta primera sección vamos a tratar de generalizar a un espacio vectorial real de dimensión finita
conceptos conocidos por el estudiante en los casos de R2 y R3: producto escalar, vectores ortogonales,
subespacios ortogonales, · · ·.
Definición 4.1.1
Sea V un R-espacio vectorial n-dimensional, y · : V ⇥ V ! R una aplicación por la cuál la imagen
de un par (v, w) va a denotarse por v · w. Se dice que · es un producto escalar o un producto interno
si verifica cada una de las condiciones siguientes, donde v, w, u son vectores cualesquiera de V y ↵,�
elementos cualesquiera de R:
i) v · w = w · v
ii) (↵v + �u) · w = ↵v · w + �u · w, v · (↵w + �u) = ↵v · w + �v · u
iii) v · v � 0, y v · v = 0 si y sólo si v = 0.
Un espacio vectorial real sobre el que se considera un producto escalar recibe el nombre de espacio
vectorial euclideo.
También es habitual denotar un producto escalar definido en V por <,> y el producto escalar de
los vectores v, w por < v,w >.
Ejemplo 4.1.1
• Si v = (x1, · · · , xn) y w = (y1, · · · , yn) son vectores cualesquiera de Rn, podemos definir v · w =
x1y1 + · · · + xnyn. La aplicación · : Rn ⇥ Rn ! R aśı definida es un producto escalar en Rn,
denominado producto escalar habitual o producto escalar estandar.
• Sea V = R3[x] y · la aplicación definida de V ⇥ V en R por p(x) · q(x) =
R 1
0 p(x)q(x)dx. Tal
aplicación es un producto interno. La comprobación de las propiedades i) y ii) exigidas a un
producto interno es inmediata para este caso. Para la prueba de la condición iii) obsérvese lo
siguiente.
p(x) · p(x) =
Z 1
0
p(x)2dx
donde p(x)2 � 0, 8x 2 [0, 1]. Si p(x) no es la función nula, p(x0)2 > 0 para algún x0 2 [0, 1]. La
función p(x)2 es continua por tanto p(x)2 > 0 para todo número x de un entorno de x0 contenido
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