Apuntes algebra lineal y geometria vega (135)

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4.4. ISOMETRÍAS EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 131
1. Comprueba que cada uno de los endomorfismos anteriores es una isometŕıa.
2. Determina cuáles de las isometŕıas anteriores vienen definidas por una matriz de la forma
✓
cos✓ �sen✓
sen✓ cos✓
◆
con 0  ✓ < 2⇡.
¿Cuál es el polinomio caracteŕıstico de cada uno de tales endomorfismos?
3. Comprueba que los endomorfismos no considerados en el apartado anterior tienen todos ellos
polinomio caracteŕıstico igual a X2 � 1.
Determina para cada uno de ellos una base respecto de la cuál la matriz asociada sea diagonal.
Comprueba que las bases obtenidas son ortogonales.
4. Representa gráficamente el comportamiento de todos los endomorfismos dados.
5. Completa la tabla siguiente donde en cada casilla debe aparece la composición de los dos endo-
morfismos de la fila y la columna correspondientes, como se indica en los ejemplos:
· en la tercera casilla de la primera fila aparece �3 porque �3 = �1 � �3,
· en la sexta casilla de la cuarta fila aparece �7 porque �7 = �4 � �6,
· como �8 = �6 � �4 = �3 � �7 aparece en los lugares (6,4) y (3,7) de la tabla, ...
� �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8
�1 �3
�2 �3
�3 �8
�4 �7
�5
�6 �8
�7
�8 �1
6. Observando la tabla comprueba que �1 � �i = �i � �1 = �i para i = 1, 2, ..., 8. Esto se expresa
diciendo que �1 es el elemento neutro del conjunto G = {�1,�2,�3, ...,�8} con la composición
7. Observando la tabla determina para cada �i el �j tal que �i ��j = �j ��i = �1. Esto se expresa
diciendo que �j es el elemento simétrico o inverso de �i (respecto la composición).
El hecho de que el conjunto G con la composición � de aplicaciones goce de las dos
últimas propiedades y además de la propiedad asociativa (el producto de matrices es
asociatvo) se expresa diciendo que (G, �) es un grupo.
8. Mirando la tabla determina tres subconjuntos de G que con la composición tengan estructura
de grupo. En este caso se dice que cada uno de esos subconjuntos es un susbgrupo de G.