Apuntes algebra lineal y geometria vega (140)

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136 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Demostración
Basta escribir V = V�(1)�? V�(�1)�?W , donde cada subespacio es �-invariante. Después basta
aplicar en cada uno de ellos, para el endomorfismo restringido, el lema correspondiente. En el caso de
W , el lema 3 habrá de aplicarse reiteradamente.
Ejemplo 4.4.2
• Una matriz ortogonal real es diagonalizable sobre C.
• Si � : R3 ! R3 es una transformación ortogonal, existe un subespacio U de R3 de dimensión 1
tal que �(U) = U .
El polinomio p�(X) es de grado 3, por tanto una de sus raices ↵ es real (↵ = 1 o �1). Basta
considerar U =< u > siendo �(u) = ↵u.
• Sea � la transformación ortogonal de R3 definida respecto de la base canónica por la matriz
0
@
1/2 1/2 �
p
2/2
1/2 1/2
p
2/2p
2/2 �
p
2/2 0
1
A
El polinomio caracteŕıstico de la isometŕıa es p�(X) = (X�1)(X2+1) = (X�1)((X�0)2+12),
con lo que podemos deducir que respecto de alguna base ortonormal la matriz asociada es
0
@
1 0 0
0 0 1
0 �1 0
1
A
Para obtener esa base ortonormal, calculamos
V(1) =< {(1/
p
2, 1/
p
2, 0)} > y V ?(1) =< {(�1/
p
2, 1/
p
2, 0), (0, 0, 1)} >
Si ' es la rectricción de � a V ?(1), la matriz de ' respecto {(�1/
p
2, 1/
p
2, 0), (0, 0, 1)} es
✓
0 1
�1 0
◆
Lo anterior garantiza que la matriz de � respecto de la base ortonormal de R3
B = {(1/
p
2, 1/
p
2, 0), (�1/
p
2, 1/
p
2, 0), (0, 0, 1)} es la descrita al comienzo.
La isometŕıa � es la rotación de amplitud ⇧2 y de eje la recta
n
x� y = 0
z = 0
.
• Muestra graficamente cuál es el efecto que produce sobre un vector de R3 la isometŕıa de matriz,
respecto base canónica, 0
@
cos✓ �sen✓ 0
sen✓ cos✓ 0
0 0 1
1
A
• Sea V = Rn, U un subespacio no nulo de V y U? su ortogonal. El endomorfismo � = pU � pU?
de V es una transformación ortogonal. La matriz asociada a dicha isometŕıa respecto de una
base de Rn con los primeros vectores en U (ortogonales entre si o no) y los demás en U? es
✓
Ir 0
0 �In�r
◆