Apuntes algebra lineal y geometria vega (148)

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144 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Una última observación antes de pasar a estudiar algunas aplicaciones afines particulares. En la
definición de movimiento se exige que la aplicación sea biyectiva, condición innecesaria puesto que el
hecho de conservar distancias conduce a la biyectividad, como se señala en uno de los ejercicios de
este caṕıtulo. Sólo un planteamiento más cómodo desde el principio nos ha llevado a establecer la
definición en esos términos.
Es un ejercicio sencillo el probar que por un movimiento m rectas se transforman en rectas, una
circunferencia de centro C se trasnforma en una circunferencia de centro m(C), · · ·
4.6 Estudio de algunas aplicaciones afines particulares
4.6.1 Proyecciones
Sea Y un subespacio af́ın de X = Rn de dirección W (Y ). Denotemos por S un subespacio de V = Rn
tal que V = S �W (Y ).
Si M es un punto cualquiera de X, y M +S es el subespacio af́ın que pasa por M y tiene dirección
S, se verifica que la intersección de los subespacios Y y M + S es no vacia y se reduce a un punto:
Si Q es un punto cualquiera de Y , el vector ~QM se escribe de forma única como ~QM = s + w
con s 2 S, w 2 W (Y ). Por tanto existe un único punto M 0 2 Y tal que w = ~QM 0, deduciéndose que
s = ~M 0M 2 S y M 0 2 M + S. Como M 0 es único en Y con esa condición, {M 0} = Y \ (M + S).
Respetando la notación anterior, y teniendo en cuenta las consideraciones previas, definimos la
aplicación
pY,S : X �! X
M ! M 0
Proposición 4.6.1
La aplicación �M : V �! V que a cada vector v = ~MN le asocia el vector v0 = ~M 0N 0 (M 0 = pY,S(M),
N 0 = pY,S(N)) coincide con la proyección vectorial de base W (Y ) y dirección S. La aplicación pY,S :
X �! X es por tanto af́ın, cuya aplicación lineal asociada es pW (Y ),S
Demostración
Sea Q un punto cualquiera (fijo) de Y . Los vectores ~QM 0 y ~QN 0 están en W (Y ) puesto que
M 0, N 0 2 Y , y los vectores ~M 0M y ~N 0N pertenecen a S. Como ~QM = ~QM 0 + ~M 0M y ~QN =
~QN 0 + ~N 0N , se tiene que ~QM 0 = pW (Y ),S( ~QM) y ~QN 0 = pW (Y ),S( ~QN).
�( ~MN) = ~M 0N 0 = ~QN 0 � ~QM 0 = pW (Y ),S( ~QN)� pW (Y ),S( ~QM) =
= pW (Y ),S( ~QN � ~QM) = pW (Y ),S( ~MN)
Definición 4.6.1
La aplicación af́ın pY,S recibe el nombre de proyección (af́ın) de base Y en la dirección S.
Observar que la proyección anterior deja fijos los puntos de la base, esto es si M 2 Y entonces
pY,S(M) = M . Como hay puntos fuera de Y que también tienen por imagen M , se puede afirmar
que pY,S no es una transformación, y tampoco movimiento, puesto que no es inyectiva. Además
p2Y,S = pY,S .