Apuntes algebra lineal y geometria vega (152)

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148 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
2. hC,↵ conserva las distancias si y sólo si ↵ = ±1. Si la razón es 1, la homotecia es la aplicación
identidad (y rećıprocamente).
3. Por una homotecia distinta de la identidad, el único punto fijo que resulta es el centro de la
homotecia.
4. Si f es una aplicación af́ın definida en X = Rn cuya aplicación lineal asociada es ↵IV=Rn
con ↵ 6= 0, 1, f es entonces una homotecia de razón ↵ y de centro el punto C de coordenadas
( a11�↵ , · · · ,
an
1�↵), siendo (a1, · · · , an) las coordenadas del punto imagen del origen del sistema de
referencia.
5. La composición de dos homotecias es una homotecia o una traslación, y la composición de una
traslación con una homotecia (no identidad) es una homotecia.
La demostración de la mayor parte de estas propiedades se deja como ejercicio. El cuarto de los puntos
puede abordarse a través de la ecuación matricial de f , viendo que C es un punto fijo por f y que si
P 0 es la imagen de P por f entonces ~CP 0 = ↵ ~CP . Por último mencionar que la prueba del último de
los puntos es inmediato si se acude a las matrices de las aplicaciones lineales que las caracterizan.
Ejemplo 4.6.4
En el plano af́ın X = R2 se consideran las homotecias hC,p2 y hC, 32 con C(1,�2). Es fácil comprobar
que si P (3, 2), la imagen de P por la primera de las homotecias es un punto cuyas coordenadas no son
enteras. ¿Podŕıas realizar una representación gráfica de lo que sucede? El punto P 0 = hC, 32
(P ) tiene
coordenadas enteras y son (4, 4).
¿Podŕıas decir para qué valores de ↵ el transformado de P (3, 2) por hC,↵ tiene coordenadas enteras?
4.6.5 Giros en X = R2
La mayor complejidad del estudio de los giros desaconseja, en parte, su tratamiento en el caso general.
Debido a esto se ha optado por el estudio de los mismos en el espacio af́ın de dimensión 2.
Sea f : X = R2 ! X = R2 la aplicación af́ın que viene dada por la ecuación matricial siguiente
(respecto del sistema de referencia canónico).
✓
x0
y0
◆
=
✓
a
b
◆
+
✓
cos✓ �sen✓
sen✓ cos✓
◆✓
x
y
◆
con 0 < ✓ < 2⇧.
Respecto de f podemos decir que
1. Es movimiento, puesto que la aplicación lineal asociada a f tiene como matriz, respecto de una
base ortonormal, una matriz ortogonal, lo que garantiza que tal aplicación lineal sea isometŕıa.
2. El conjunto de puntos fijos por f se determina resolviendo el sistema
✓
1� cos✓ sen✓
�sen✓ 1� cos✓
◆✓
x
y
◆
=
✓
a
b
◆
Dicho sistema tiene solución única si (y sólo si) la matriz que lo define es de rango 2.
rango
✓
1� cos✓ sen✓
�sen✓ 1� cos✓
◆
= 2 () (1� cos✓)2 + sen2✓ 6= 0 ()
() 2� 2cos✓ 6= 0 () cos✓ 6= 1 () ✓ 6= 2k⇧
Como inicialmente 0 < ✓ < 2⇧, f deja un único punto fijo que vamos a denotar por C.