Apuntes algebra lineal y geometria vega (153)

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4.6. ESTUDIO DE ALGUNAS APLICACIONES AFINES PARTICULARES 149
Definición 4.6.6
La aplicación f definida por la ecuación matricial anterior recibe el nombre de giro de centro C y
amplitud ✓, y es denotada por gC,✓.
Ejemplo 4.6.5
• Supuesto fijado el sistema de referencia canónico, si en X = R2 se considera el giro de centro
C(1,�2) y amplitud ⇧6 , la imagen P
0(x0, y0) de un punto P (x, y) vendrá determinada por una
ecuación del tipo
✓
x0
y0
◆
=
✓
a
b
◆
+
 
1
2 �
p
3
2p
3
2
1
2
!✓
x
y
◆
,
donde (a, b), recordemos, son las coordenadas del punto imagen de O(0, 0) por el giro. El hecho
de conocer que el punto (1,�2) es un punto fijo nos permite hallar dichos valores a y b.
✓
a
b
◆
=
 
1� 12
p
3
2
�
p
3
2 1�
1
2
!✓
1
�2
◆
=
 
1�2
p
3
2
�2�
p
3
2
!
• Si gC,✓ y gD,� son dos giros, la composicón gC,✓ � gD,� es otro giro o una traslación, puesto que
la aplicación lineal asociada a tal composición es
✓
cos(✓ + �) �sen(✓ + �)
sen(✓ + �) cos(✓ + �)
◆
=
✓
cos⇢ �sen⇢
sen⇢ cos⇢
◆
verificando ✓ + � = ⇢+ 2⇧ con 0  ⇢ < 2⇧.
Si la matriz anterior no es la identidad (caso ⇢ 6= 0) la composición es un giro, en el otro caso la
composición es una traslación.
• Si t y g son respectivamente una traslación y un giro en R2, la composición t�g es un giro puesto
que la matriz de la aplicación lineal asociada coincide con la de g, por ser la de t la identidad.
Teniendo esto en cuenta se deja como ejercicio determinar el centro y la amplitud del giro t � g
donde:
· t es la traslación en que el punto (6, 0) es la imagen del punto (0, 0) y
· g es el giro de centro (0, 0) en que (0, 2) es la imagen de (2, 0).
¿El giro anterior coincide con g � t?
Resumiendo, las afinidades que hemos estudiado en X = Rn son
8
>>>>><
>>>>>:
No biyectivas: Proyecciones (Ortogonales / No ortogonales)
Transformaciones
8
>>><
>>>:
No conservan distancias
n
Simetŕıas no ortogonales
Homotecias
Movimientos
8
<
:
Simetŕıas ortogonales
Traslaciones
Giros ( estudiados para n=2)