Apuntes algebra lineal y geometria vega (159)

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4.7. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 155
Si un punto P de la cónica tiene coordenadas (x, y) respecto el sistema de referencia canónico
y coordenadas (x0, y0) respectoR, se tiene la siguiente relación (como se ha visto más arriba)
✓
x
y
◆
=
✓
� 625
8
25
◆
+
✓
1 2
0 �11
◆✓
x0
y0
◆
Esto es,
x0 = (x+
6
25
) +
2
11
(y � 8
25
), y0 = � 1
11
(y � 8
25
)
– Si la diagonalización de A se hubiese realizado a partir de la base ortonormal B = {v1 =
1p
5
(2,�1), v2 = 1p5(1, 2)} tendŕıamos
A01 = T
t
1AT1 =
✓
10 0
0 15
◆
siendo T1 la matriz cuyas columnas son los vectores de B. Los elementos 15 y 10 de la
diagonal principal de A01 son los autovalores de A.
Cuando en el plano se considera el sistema de refencia ortonormal R1 = {P0; v1, v2}, la
matriz de la cónica es
M” =
0
@
�54425 0 0
0 10 0
0 0 15
1
A
y su ecuación por tanto
10x21 + 15y
2
1 �
544
25
= 0,
que también se escribe
x21
(
q
544
250 )
2
+
y21
(
q
544
375 )
2
= 1 Esta ecuación recibe el nombre de ecuación
reducida de la cónica. Se llaman ejes de la cónica a las rectas perpendiculares que pasan
por el centro de la cónica y tienen las direcciones de los vectores de la base ortonormal
de autovectores de la matriz A. En este caso concreto son ejes de la elipse las rectas de
ecuaciones paramétricas siguientes:
r :
(
x = � 625 +
1p
5
↵
y = 825 +
2p
5
↵
r0 :
(
x = � 625 +
2p
5
↵
y = 825 �
1p
5
↵
Los ejes de la elipse (o en general de una cónica con centro) son ejes de simetŕıa de la
misma.
Los valores a =
q
544
250 y b =
q
544
375 reciben el nombre de longitudinales de los semiejes. El
valor c > 0 que verifica a2 = b2 + c2 se llama semidistancia focal y el cociente ca recibe el
nombre de excentricidad de la elipse. Los puntos que en el sistema de referencia R1 tienen
coordenadas (±c, 0) reciben el nombre de focos de la elipse.
4.7.2 Cuádricas
En el espacio af́ın tridimensional se llama cuádrica al lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas
(respecto sistema de referencia canónico) (x1, x2, x3) verifican una ecuación del tipo
a11x
2
1 + a22x
2
2 + a33x
2
3 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + 2b1x1 + 2b2x2 + 2b3x3 + c = 0 [1]