Apuntes algebra lineal y geometria vega (160)

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156 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
para ciertos números reales aij , bk, c tales que los aij no son simultáneamente todos nulos.
La ecuación anterior se expresa matricialmente:
( 1 x1 x2 x3 )
0
BB@
c b1 b2 b3
b1 a11 a12 a13
b2 a12 a22 a23
b3 a13 a23 a33
1
CCA
0
BB@
1
x1
x2
x3
1
CCA = 0
El conjunto de puntos de coordenadas (x1, x2, x3) que verifica la ecuación [1] es el mismo que el que
verifica la ecuación
↵(a11x
2
1 + a22x
2
2 + a33x
2
3 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + 2b1x1 + 2b2x2 + 2b3x3 + c) = 0 [2]
cuando ↵ 6= 0, que escrita de forma matricial:
( 1 x1 x2 x3 )↵
0
BB@
c b1 b2 b3
b1 a11 a12 a13
b2 a12 a22 a23
b3 a13 a23 a33
1
CCA
0
BB@
1
x1
x2
x3
1
CCA = 0
Definición 4.7.3
Se llama matriz de la cuádrica definida por la ecuación [1] a la matriz M =
0
BB@
c b1 b2 b3
b1 a11 a12 a13
b2 a12 a22 a23
b3 a13 a23 a33
1
CCA o
a cualquiera de sus proporcionales: ↵M con ↵ 6= 0. La matriz no nula A =
0
@
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
1
A recibe
el nombre de matriz de los términos cuadráticos de la cuádrica.
Un tratamiento similar al realizado para las cónicas nos permitiŕıa decir que cuando se realiza un
cambio de sistema de referencia en el espacio af́ın:
1. La matriz M 0 asociada a la cuádrica respecto de ese nuevo sistema de referencia es equivalente a
la matriz M . El mismo resultado se obtiene respecto de las matrices de los términos cuadráticos.
2. Es consecuencia de lo anterior que los rangos de M y M 0 son iguales aśı como sus signa-turas.
Lo mismo sucede cuando se consideran las matrices de términos cuadráticos.
3. Los determinantes de M y M 0 tienen el mismo signo. También este resultado es cierto para las
matrices A y A0.
En el siguiente cuadro se resume la clasificación de las cuádricas. En él, M es la matriz de la
cuádrica y A es su submatriz de los términos cuadráticos (en un sistema de referencia cualquiera). En
las expresiones del tipo tipo s(X) = (p, q), donde X=A ó M y p y q valores enteros debe tenerse en
cuenta que p se corresponde con la cantidad de valores propios estrictamente positivos de la matriz
correspondiente y q con la cantidad de valores propios estrictamente negativos. En el cuadro no apare-
cen los casos en los que la cuádrica es un par de planos (paralelos, secantes, ...) porque complican en
exceso la clasificación y además pueden resultar de menor interés. Sólo al final aparece un ejemplo
que muestra uno de esos casos.
Caso 1.- rango(M) = 4, Cuádricas ordinarias o no degeneradas