Apuntes algebra lineal y geometria vega (161)

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4.7. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 157
• rango(A) = 3, cuádricas con centro
1. s(M)=(4,0) y s(A)=(3,0), ELIPSOIDE IMAGINARIO
2. s(M)=(3,1) y s(A)=(3,0), ELIPSOIDE REAL
3. s(M)=(3,1) y s(A)=(2,1), HIPERBOLOIDE ELÍPTICO
4. s(M)=(2,2) y s(A)=(2,1), HIPERBOLOIDE HIPERBÓLICO
• rango(A) = 2, cuádricas sin centro
1. s(M)=(3,1) y s(A)=(2,0), PARABOLOIDE ELÍPTICO
2. s(M)=(2,2) y s(A)=(1,1), PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Caso 2.- rango(M) = 3, Cuádricas con un punto singular
• rango(A) = 3, conos
1. s(M)=(3,0) y s(A)=(3,0), CONO IMAGINARIO (con vértice real)
2. s(M)=(2,1) y s(A)=(2,1), CONO REAL
• rango(A) = 2, cilindros
1. s(M)=(3,0) y s(A)=(2,0), CILINDRO IMAGINARIO
2. s(M)=(2,1) y s(A)=(2,0), CILINDRO ELÍPTICO (real)
3. s(M)=(2,1) y s(A)=(1,1), CILINDRO HIPERBÓLICO
4. s(M)=(2,1) y s(A)=(1,0), CILINDRO PARABÓLICO
La cuádrica de ecuación: x2 + y2 � z2 + 2xy � x� y + z = 0, tiene por matriz asociada a
M =
0
BB@
0 �12 �
1
2
1
2
�12 1 1 0
�12 1 1 0
1
2 0 0 �1
1
CCA
En este caso det(M) = 0, rango(M) = 3, y el rango(A) = 2. Como ejercicio se deja el determinar
las signaturas de M y A, y comprobar que no encaja en ninguno de los casos del cuadro anterior.
Finalmente observar que x2 + y2 � z2 + 2xy � x � y + z = (x + y + z � 1)(x + y � z) = 0, y que el
conjunto solución está formado por los planos de ecuaciones:
x+ y + z � 1 = 0
x+ y � z = 0