Apuntes algebra lineal y geometria vega (165)

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4.8. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EUCLÍDEA 161
En R2 se considera la rotación vectorial r que respecto de la base canónica tiene por matriz
✓
1/2 �
p
3/2p
3/2 1/2
◆
Halla respecto de esa base las matrices de las rotaciones t tales que t2 = r.
Problema 4.8.17
Se considera el plano eucĺıdeo R2.
i) Halla la matriz (respecto de la base canónica) de la simetŕıa ortogonal s de eje la recta (vectorial)
engendrada por el vector u = (1, 2).
ii) Determina la simetŕıa ortogonal s0 tal que r = s0os, donde r es la rotación vectorial, que respecto
de una base ortonormal, tiene por matriz A.
A =
✓
1/3 �2
p
2/3
2
p
2/3 1/3
◆
Problema 4.8.18
En R2 se consideran los vectores u = (1, 2) y v = (�1, 1) y las semirrectas vectoriales Du =
{↵(1, 2)/↵ 2 R+} y Dv = {↵(�1, 1)/↵ 2 R+}. Halla respecto de la base canónica las matrices
de las isometŕıas f de R2 tales que f(Du) = Dv.
Problema 4.8.19
Sean u, v, w tres vectores de R2 tales que u y v son linealmente independientes y u+ v +w = 0. Sea
f un endomorfismo de R2 tal que f conserva la norma de u, v y w.
i) Demuestra que conserva el producto escalar de u y v.
ii) Demuestra que f es una isometŕıa de R2.
Problema 4.8.20
En R3 se considera la base B = {u = (1, 1, 1), v = (1/
p
2, 0,�1/
p
2), w = (�1/
p
6, 2/
p
6,�1/
p
6)}.
a) Demuestra que el subespacio ortogonal a hui está generado por v y w.
b) Sea f la isometŕıa de R3 que tiene asociada respecto de B la matriz A siguiente
A =
0
@
1 0 0
0
p
2/2 �
p
2/2
0
p
2/2
p
2/2
1
A
¿Es una isometŕıa positiva o negativa?. ¿Cuál es su polinomio caracteŕıstico?. ¿De qué tipo de
transformación se trata?. Describe los elementos que la caracterizan.
c) Halla la imagen por f de los vectores (1, 1,�2), (1, 0, 0), (�2,�2,�2).