Apuntes algebra lineal y geometria vega (171)

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4.8. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EUCLÍDEA 167
Problema 4.8.36
Demuestra que la aplicación de R3 en R3, que al punto M(x, y, z) asocia el punto M 0(x0, y0, z0) tal
que
x0 = �y + z � 1
y0 = �x+ z � 1
z0 = �x� y + 2z � 1
es una proyección. Determina sus elementos base y dirección.
Problema 4.8.37
Demuestra que la aplicación de R3 en R3, que al punto M(x, y, z) asocia el punto M 0(x0, y0, z0) tal que
x0 = 2x� 2z � 3
y0 = x� z � 2
z0 = x� z � 3
es una proyección. Determina sus elementos base y dirección.
Problema 4.8.38
Sean Y y Z dos subespacios afines de Rn con la misma dimensión, y W (Y ) y W (Z) los subespacios
vectoriales asociados (llamados direccionesde Y y Z respectivamente). Se dice que Y y Z son paralelos
si W (Y ) = W (Z).
i) Da ejemplos de rectas en R3 que sean paralelas.
ii) ¿Son paralelos los planos de R3 siguientes?
Y : x� y + 2z = 1
Z : x = 1� a+ 3b
y = 1 + a+ b
z = 1 + a� b
iii) ¿Son paralelos los planos de R3 siguientes?
Y : x� y + 2z = 1
Z : x = 1� a+ 3b
y = a+ b
z = a� b
iv) ¿Cómo son Y y Z si siendo paralelos tienen un punto en común?.
v) Demuestra que si Y y Z son rectas paralelas sin puntos en común, entonces existe un plano que
contiene a ambas rectas.