Apuntes algebra lineal y geometria vega (188)

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184 CUESTIONARIO
Cuestión 28
Sean f y g endomorfismos de Rn. Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
1. Si 0 es autovalor de f , entonces 0 es autovalor de g � f .
2. Si im(f)\ ker(g) 6= {0}, entonces 0 es autovalor de g � f .
3. Si ↵ 6= 0 es autovalor de f , entonces ↵ es autovalor de g � f .
4. Si v 2 Rn es autovector de f y autovector de g, entonces v es autovector de g � f .
Cuestión 29
Sean f : R3 ! R4 y g : R4 ! R3 las aplicaciones lineales definidas, respecto de las bases canónicas
correspondientes, por las matrices A y B siguientes:
A =
0
BB@
1 1 1
1 2 0
1 2 0
1 2 1
1
CCA B =
0
@
1 1 2 2
1 �1 �1 �1
1 0 �1 �1
1
A
Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
1. f � g es diagonalizable.
2. e3 � e4 es un vector propio de f � g.
3. g � f es diagonalizable.
4. g � f es inyectiva.
Cuestión 30
Sea f : R4 ! R4 la aplicación lineal definida, respecto de la base canónica, por las matrices A siguiente:
A =
0
BB@
0 0 0 3
0 �1 0 0
0 �1 0 0
�1 �1 �1 4
1
CCA .
Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
1. El conjunto de vectores {e1 + e4, e1 � e3, 3e1 + e4,�3e1 +4e2 +4e3 + e4} constituye una base de
vectores propios para el endomorfismo f .
2. La matriz asociada a f respecto de la base B = {e1+ e4, e3+ e4, 5e1� e3+2e4, e1+ e2+ e3+ e4}
de R4 es una matriz triangular superior.
3. f no puede ser representado por una matriz triangular.
4. Existe un número natural m tal que fm es la aplicación nula.