Apuntes algebra lineal y geometria vega (189)

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CUESTIONARIO 185
Cuestión 31
Sea f un endomorfismo de R4 cuyo polinomio caracteŕıstico es pf (X) = (X � 1)2(X + 1)(X � 3).
Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
1. Si existen vectores v, w 2 R4 linealmente independientes, tales que f(v) = v y f(w) = w,
entonces f es diagonalizable.
2. Si el número 1 no es raiz del polinomiom0f (X) (derivado del polinomiomf (X), polinomio mı́nimo
de f), entonces f es diagonalizable.
3. Si el polinomio mı́nimo de f , mf (X), es de grado tres, entonces f es diagonalizable.
4. f2 es la aplicación nula.
Cuestión 32
Sea f un endomorfismo de R5, del que se sabe que
• Su polinomio caracteŕıstico tiene tres raices distintas.
• (f � I)2(f3 � 5f2) es la aplicación nula.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
1. El polinomio caracteŕıstico de f es (X � 1)2X2(X � 5).
2. El polinomio caracteŕıstico de f es de la forma (X � 1)r1Xr2(X � 5)r3 con r1 + r2 + r3 = 5 y
ri � 1 con i = 1, 2, 3.
3. f no es triangularizable.
4. Si pf (X) = (X � 1)2X2(X � 5), no es posible afirmar que f sea diagonalizable, pero śı que
existen bases B y B0 de R5 tales que la matriz asociada a f respecto dichas bases es
MB,B0(f) =
0
BBBB@
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
CCCCA
Cuestión 33
Sea f un endomorfismo de R5, del que se sabe:
• Su polinomio caracteŕıstico es pf (X) = (X � 1)2X2(X � 5)
• Existe un vector v1 2 ker(f � I)2 � ker(f � I)
• v2, v3, v4 son vectores propios asociados a 1, 0, 5 respectivamente.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
1. dim(ker(f � I)) = 1 y ker(f � I)2 = h{v1, v2}i.