Apuntes algebra lineal y geometria vega (193)

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CUESTIONARIO 189
2. No puede existir f tal que su polinomio mı́nimo sea de grado 4.
3. Las matrices
J1 =
0
BB@
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CCA y J2 =
0
BB@
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1
CCA
no pueden representar ambas a f .
4. Las matrices
J3 =
0
BB@
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 �1 0
0 0 0 1
1
CCA y J4 =
0
BB@
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 �1
1
CCA
no pueden representar ambas a f .
Cuestión 39
Sea f un endomorfismo de un K-espacio vectorial V de dimensión 5, y sea d(X) el máximo común
divisor entre el polinomio mı́nimo de f y la derivada de éste. Indica cuáles de las siguientes frases son
verdaderas teniendo en cuenta que
J1 =
0
BBBB@
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 3
1
CCCCA
J2 =
0
BBBB@
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 3
1
CCCCA
J3 =
0
BBBB@
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
1
CCCCA
J4 =
0
BBBB@
1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 2 1 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 3
1
CCCCA
1. Si los autovalores de f son 1, 2 y 3, y d(X) = (X � 1)2, entonces la forma de Jordan de f es J1.
2. Si los autovalores de f son 1, 2 y 3, y d(X) = (X � 1), entonces la forma de Jordan de f es J2.
3. Si los autovalores de f son 1, 2 y 3, y d(X) = (X � 1)(X � 2), entonces la forma de Jordan de
f es J4.
4. Si los autovalores de f son 1 y 2, y d(X) = (X � 1)(X � 2), entonces la forma de Jordan de f
es J3.
Cuestión 40
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1. Si A es una matriz cualquiera y ↵ es uno de sus autovalores, entonces ↵2+3↵+1 es un autovalor
de la matriz A2 + 3A+ I