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Caṕıtulo 1. Conjuntos Si x /∈ A ∪B, entonces 1A∪B(x) = 0. Dado que x /∈ A y x /∈ B : 1A(x) + 1B(x)− 1A(x) · 1B(x) = 0 + 0− 0 · 0 = 0. Por tanto, ∀x ∈ X se verifica 1A∪B(x) = 1A(x) + 1B(x) − 1A(x) · 1B(x) lo cual implica que 1A∪B = 1A + 1B − 1A · 1B. (v) Para todo x ∈ X se verifica 1∅(x) = 0 pues x /∈ ∅. Es decir, 1∅ = 0 (función nula). Por los apartados (iii) y (iv), 1A∪B = 1A + 1B − 1A∩B y si A ∩B = ∅ queda 1A∪B = 1A + 1B. La diferencia simétrica A∆B es igual a (A−B)∪ (B−A) siendo ésta unión disjunta, por tanto 1A∆B = 1A−B + 1A−B = 1A∩Bc + 1B∩Ac = 1A · 1Bc + 1B · 1Ac = 1A · (1− 1B) + 1B · (1− 1A) = 1A + 1B − 2 · 1A · 1B. 1.13. Asociatividad de la diferencia simétrica Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto universal X. Usando propiedades de la función caracteŕıstica, demostrar la propiedad asociativa de la diferen- cia simétrica, es decir (A∆B)∆C = A∆(B∆C). Solución. Para cualquier par de subconjuntos M y N de X, sabemos que M = N si y sólo si 1M = 1N . Bastará pues demostrar que 1(A∆B)∆C = 1A∆(B∆C). (1) Sabemos también que 1M∆N = 1M + 1N − 2 · 1M · 1N . Desarrollemos separadamente 1(A∆B)∆C y 1A∆(B∆C) : 1(A∆B)∆C = 1(A∆B) + 1C − 2 · 1(A∆B) · 1C = 1A + 1B − 2 · 1A · 1B + 1C − 2 (1A + 1B − 2 · 1A · 1B) · 1C = 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C . 1A∆(B∆C) = 1A + 1(B∆C) − 2 · 1A · 1(B∆C) = 1A + 1B + 1C − 2 · 1B · 1C − 2 · 1A (1B + 1C − 2 · 1B · 1C) = 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C . Se verifica (1), por tanto (A∆B)∆C = A∆(B∆C). Conjuntos Asociatividad de la diferencia simétrica Partes de uniones e intersecciones