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4.19 Grupo de funciones matriciales
La operación ◦ es interna enG. Sabemos que es asociativa en general, luego lo
es en nuestro caso. Claramente f1 es elemento neutro. Para todo i = 1, 2, 3, 4
se verifica fi ◦ fi = f1 lo cual implica que todo fi tiene elemento simétrico
f−1i siendo f
−1
i = fi. Concluimos que (G, ◦) es grupo. Es además conmuta-
tivo debido a la simetŕıa de la tabla. El elemento neutro f1 tiene orden 1 y
los restantes elementos, orden 2. Es decir, no hay ningún elemento de orden
4 y por tanto, (G, ◦) no es ćılico.
(b) Usando la definición de producto de sustituciones obtenemos fácilmente
la tabla de Cayley de la operación
· i r s t
i i r s t
r r i t s
s s t i r
t t s r i
Llamando S = {i, r, s, t}, definimos la aplicación φ : G→ S mediante
φ(f1) = i , φ(f2) = r , φ(f3) = s , φ(f4) = t.
La aplicación φ es biyectiva, y un simple observación de las anteriores tablas
de Cayley muestra que se verifica φ(fi ◦ fj) = φ(fi) · φ(fj) para todo i, j =
1, 2, 3, 4. Se concluye que (S, ·) es grupo y que φ es isomorfismo entre (G, ◦)
y (S, ·).
4.19. Grupo de funciones matriciales
Sea M el conjunto de las matrices reales 2 × 3. Sea F el conjunto de las
aplicaciones fAB : M → M definidas por fAB(X) = AX + B donde A es
una matriz invertible 2× 2 y B una matriz 2× 3.
1. Calcular (fA2B2 ◦ fA1B1)(X), y concluir probando que la composición de
aplicaciones es una ley de composición interna en F.
2. Comprobar que la aplicación identidad i : M → M se puede considerar
perteneciente a F ¿para qué matrices concretas A y B es fAB = I? Demos-
trar que i es el elemento unidad de F.
3. Enunciar y demostrar la propiedad asociativa. Dar un contraejemplo para
demostrar que no se cumple la propiedad conmutativa. Es decir, encontrar
cuatro matrices para las cuales fA2B2 ◦ fA1B1 6= fA1B1 ◦ fA2B2 .
Grupos
Grupo de funciones matriciales
