problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (222)

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8.5 Determinantes por inducción
de la primera columna:
∆n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x2 x 0 0 . . . 0
x 1 + x2 x 0 . . . 0
0 x 1 + x2 x . . . 0
0 0 x 1 + x2 . . . 0
...
...
0 0 0 0 . . . 1 + x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (1 + x2)∆n − x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x 0 0 . . . 0
x 1 + x2 x . . . 0
0 x 1 + x2 . . . 0
...
...
0 0 0 . . . 1 + x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (1 + x2)∆n − x2∆n−1 = (1 + x2)(1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n)
−x2(1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n−2) = 1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n
+x2 + x4 + x6 + · · ·+ x2n+2 − x2 − x4 − x6 − · · · − x2n
= 1 + x2 + x4 + x6 · · ·+ x2(n+1).
Es decir, la fórmula es cierta para n+ 1.
2. Hallemos los determinantes de órdenes 1, 2 y 3 para analizar si siguen
alguna relación.
∆1 =
∣∣1∣∣ = 1, ∆2 = ∣∣∣∣ 1 1−1 2
∣∣∣∣ = 3, ∆3 =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
−1 2 0
0 −1 2
∣∣∣∣∣∣ = 7.
Es decir, ∆1 = 2
1 − 1, ∆2 = 22 − 1, ∆3 = 23 − 1, lo cual permite conjeturar
la fórmula
∆n = 2
n − 1.
Demostremos la fórmula por inducción. El paso base ya está demostrado.
Supongamos que la fórmula conjeturada es cierta para todo k ≤ n, y demos-
tremos que también es válida para n + 1. Desarrollando por los elementos
de la primera columna:
∆n+1 = 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0 . . . 0 0
−1 2 0 . . . 0 0
0 −1 2 . . . 0 0
...
...
0 0 0 . . . −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣