problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (235)

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Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
Rećıprocamente, si m es suma de cuatro cuadrados de enteros, es claro que
m es un determinante de la forma anterior. Entonces, si m y n son suma de
cuatro cuadrados de enteros, usando que el determinante del producto es el
producto de los determinantes y conocidas propiedades de la conjugación de
los números complejos:
mn = det
[
z −w
w z
]
det
[
h −t
t h
]
= det
[
zh− wt −zt− wh
wh+ zt −wt+ zh
]
= det
[
zh− wt −
(
zt+ wh
)
zt+ wh zh− wt
]
.
Dado que los números complejos z, w, h y t tiene partes real a imaginaria
enteras, también las tienen zh−wt y zt+wh, es decir mn es un determinante
de la forma dada, luego es la suma de cuatro cuadrados de enteros.
8.12. Determinante e inversa de orden n
Se considera la matriz
Mn =

a1 + a2 −a2 0 0 . . . 0 0 0
−a2 a2 + a3 −a3 0 . . . 0 0 0
0 −a3 a3 + a4 −a4 . . . 0 0 0
...
...
0 0 0 0 . . . −an−1 an−1 + an −an
0 0 0 0 . . . 0 −an an

siendo a1, a2, . . . , an números reales no nulos y sea Dn = detMn.
1. Calcular D1, D2, D3. ( Nótese que M1 = [a1] )
2. Encontrar una relación entre Dn y Dn+1.
3. Calcular Dn.
4. Sean b1 =
1
a1
, bi = bi−1 +
1
ai
, i = 2, 3, . . . n y sea
An =

b1 b1 b1 . . . b1 b1
b1 b2 b2 . . . b2 b2
b1 b2 b3 . . . b3 b3
...
...
b1 b2 b3 . . . bn−1 bn−1
b1 b2 b3 . . . bn−1 bn

.
Hallar |An| en función de a1, a2, . . . , an.
5. Calcular el producto Mn ·An y deducir M−1n .
	Determinantes sobre un cuerpo
	Determinante e inversa de orden n