problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (262)

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9.12 Dependencia e independencia lineal de vectores
2. En el espacio vectorial usual R3 analizar si son linealmente independientes
los vectores v1 = (1, 2,−1), v2 = (2,−1,−3), v3 = (−3, 4, 5).
3. Sean u, v, w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial
real E. Demostrar que u + v, u − v, u − 2v + w también son linealmente
independientes.
4. Sea p(x) ∈ R[x] un polinomio de grado 2. Demostrar que el sistema de
vectores S = {p(x), p′(x), p′′(x)} es libre.
5. En el espacio vectorial real E = F(R,R) de las funciones de R en R demos-
trar que los siguientes vectores son linealmente independientes los vectores
f(x) = e2x, g(x) = x2, h(x) = x.
6. Demostrar que en todo espacio vectorial cualquier vector no nulo es li-
nealmente independiente.
7. Demostrar que el sistema S = {fk(x) = sen kx : k = 1, 2, . . . , n} es libre
en E = F(R,R).
8. Demostrar que S = {1, x, x2, . . . , xn, . . .} es un sistema libre en R[x].
9. Demostrar las siguientes propiedades: (a) El vector cero no puede perte-
necer a un sistema libre.
(b) Todo subsistema de un sistema libre es libre.
(c) Todo supersistema de un sistema ligado es ligado.
(d) Un sistema es ligado si y sólo si existe un vector del sistema que es com-
binación lineal de los demás.
10. En el espacio vectorial F(R,R), demostrar que los vectores f(x) = senx,
g(x) = cosx y h(x) = x, son linealmente independientes.
11. Demostrar que las funciones fk(x) = x
αk (k = 1, . . . , n) con αk ∈ R, y
αi 6= αj si i 6= j, son linealmente independientes.
12. Se consideran las funciones
fk : R→ R, fk(x) = erkx
con k = 1, . . . n, rk ∈ R y n ≥ 2. Demostrar que estas funciones son lineal-
mente independientes ⇔ ri 6= rj para todo i 6= j.