problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (266)

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9.12 Dependencia e independencia lineal de vectores
que proporciona la única solución, λ1 = λ2 = λ3 = 0, es decir las funciones
dadas son linealmente independientes.
11. Consideremos una combinación lineal de los vectores dados, igualada a
la función cero:
λ1x
α1 + λ2x
α2 + . . .+ λnx
αn = 0.
Dando a x los valores 1, 2, 22, . . . , 2n−1, obtenemos el sistema lineal:
λ1 + λ2 + . . .+ λn = 0
λ12
α1 + λ22
α2 + . . .+ λn2
αn = 0
λ12
2α1 + λ22
2α2 + . . .+ λn2
2αn = 0
. . .
λ12
(n−1)α1 + λ22
(n−1)α2 + . . .+ λn2
(n−1)αn = 0.
(∗)
La matriz M del sistema es:
M =

1 1 . . . 1
2α1 2α2 . . . 2αn
22α1 22α2 . . . 22αn
...
...
2(n−1)α1 2(n−1)α2 . . . 2(n−1)αn
 ,
es decir una matriz de Vandermonde. Su determinante es por tanto,
det(M) = (2αn − 2αn−1) (2αn − 2αn−2) · · · (2α3 − 2α1) (2α2 − 2α1) .
Por hipótesis los números αi son distintos dos a dos, luego det(M) 6= 0. Es-
to implica que el sistema lineal homogéneo (∗) sólo tiene la solución trivial
λ1 = . . . = λn = 0. En consecuencia, las funciones dadas son linealmente
independientes.
12. ⇒) Supongamos que dos de los números rk fueran iguales (sin pérdida
de generalidad, supongamos que r1 = r2), entonces,
1er1x + (−1)er2x + 0er3x + · · ·+ ernx = 0 ∀x ∈ R,
no siendo nulos todos los escalares, luego er1x, er2x, . . . , ernx seŕıan lineal-
mente dependientes, en contradicción con la hipótesis.
⇐) Demostremos esta implicación por inducción respecto a n. Veamos que
es cierta para n = 2. Supongamos que r1 6= r2 y consideremos la igualdad
de funciones λ1e
r1x + λ2e
r2x = 0. Dando a x los valores 0 y 1, obtenemos{
λ1 + λ2 = 0
er1λ1 + e
r2λ2 = 0,