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Cálculo Diferencial en Varias Variables Lázaro R. Dı́az Lievano 201910145 Enero 2021 1. Problemas del capitulo 1.4. Vectores en n dimensiones. 1.37 Sean V = (v1, ..., vn),U = (u1, ..., un) y W = (w1, ..., wn) vectores en Rn, y sea c y d numeros. Muestre que a) V + W = W + V W + V = (v1, ..., vn) + (w1, ..., wn) (v1, ..., vn) + (w1, ..., wn) = (v1 + w1, ..., vn + wn) (v1 + w1, ..., vn + wn) = (w1 + v1, ..., wn + vn) (w1 + v1, ..., wn + vn) = W + V � b) (V + U) + W = V + (U + W ) (V + U) + W = ((v1, ..., vn) + (u1, ..., un)) + (w1, ..., wn) ((v1, ..., vn) + (u1, ..., un)) + (w1, ..., wn) = (v1 + u1, ..., vn + un) + (w1, ..., wn) (v1 + u1, ..., vn + un) + (w1, ..., wn) = ((v1 + u1) + w1, ..., (vn + un) + wn) ((v1 + u1) + w1, ..., (vn + un) + wn) = (v1 + u1 + w1, ..., vn + un + wn) (v1 + u1 + w1, ..., vn + un + wn) = (v1 + (u1 + w1), ..., vn + (un + wn)) (v1 + (u1 + w1), ..., vn + (un + wn)) = (v1, ..., vn) + (u1 + w1, ..., un + wn) (v1, ..., vn) + (u1 + w1, ..., un + wn) = (v1, ..., vn) + ((u1, ..., un) + (w1, ..., wn)) (v1, ..., vn) + ((u1, ..., un) + (w1, ..., wn)) = V + (U + W ) � c) c(U + V ) = cU + cV c(U + V ) = c((u1, ..., un) + (v1, ..., vn)) c((u1, ..., un) + (v1, ..., vn)) = c(u1 + v1, ..., un + vn) c(u1 + v1, ..., un + vn) = (c(u1 + v1), ..., c(un + vn)) (c(u1 + v1), ..., c(un + vn)) = (cu1 + cv1, ..., cun + cvn) (cu1 + cv1, ..., cun + cvn) = (cu1+, ..., cun) + (cv1+, ..., cvn) (cu1+, ..., cun) + (cv1+, ..., cvn) = c(u1, ..., un) + c(v1, ..., vn) c(u1, ..., un) + c(v1, ..., vn) = cU + cV � 1 d) (c + d)U = cU + dU (c + d)U = (c + d)(u1, ..., un) (c + d)(u1, ..., un) = ((c + d)u1, ..., (c + d)un) ((c + d)u1, ..., (c + d)un) = ((cu1 + du1), ..., (cun + dun)) (cu1 + du1, ..., cun + dun) = (cu1, ..., cun) + (du1, ..., dun) (cu1, ..., cun) + (du1, ..., dun) = c(u1, ..., un) + d(u1, ..., un) c(u1, ..., un) + d(u1, ..., un) = cU + dU � 1.38 Exprese el vector (1, 3, 5) como una combinacion lineal de los vectores U1 = (1, 0, 0), U2 = (1, 1, 0), U3 = (1, 1, 1). aU1 + bU2 + cU3 = (1, 3, 5) a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (1, 3, 5) (a + b + c, b + c, c) = (1, 3, 5) Dando origen al siguiente sistema de ecuaciones lineales a + b + c = 1b + c = 3 c = 5 Entonces c = 5, b = −2 y a = −2 y representando este vector como combinacion lineal queda como (1, 3, 5) = −2(1, 0, 0)− 2(1, 1, 0) + 5(1, 1, 1) 1.39 Muestre que todo vector en R3 es una combinacion lineal de los vectores U1 = (1, 0, 0), U2 = (1, 1, 0), U3 = (1, 1, 1). aU1 + bU2 + cU3 = (x, y, z) a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (x, y, z) (a + b + c, b + c, c) = (x, y, z) Dando origen al siguiente sistema de ecuaciones lineales a + b + c = xb + c = y c = z Entonces c = z, b = y − z y a = x− y y representando este vector como combinacion lineal queda como (x, y, z) = (x− y)(1, 0, 0) + (y − z)(1, 1, 0) + z(1, 1, 1) = (x− y + y − z + z, y − z + z, z) = (x, y, z) 2 1.40 Determine si los vectores U1 = (1, 0, 0), U2 = (1, 1, 0), U3 = (1, 1, 1). son linealmente independientes. aU1 + bU2 + cU3 = (0, 0, 0) a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (0, 0, 0) (a + b + c, b + c, c) = (0, 0, 0) Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones a + b + c = 0b + c = 0 c = 0 Entonces c = 0, b = 0 = y a = 0, es decir, la unica forma de expresar al vector cero como combinacion lineal de los vectores U1, U2 yU3 es la trivial.Por lo tanto, son linealmente independientes. 1.41 Muestre que los vectores (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1). son linealmente independiente en R4. a(1, 1, 1, 1) + b(0, 1, 1, 1) + c(0, 0, 1, 1) + d(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) (a, a + b, a + b + C, a + b + c + d) = (0, 0, 0, 0) Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones a = 0 a + b = 0 a + b + c = 0 a + b + c + d = 0 Entonces a = 0, b = 0, c = 0 y d = 0, es decir, la unica forma de expresar al vector cero como combinacion lineal de los vectores es la trivial.Por lo tanto, son linealmente independientes en R4. 1.42 ¿Los vectores (1, 2, 1) (1, 2, 2) (1, 2, 3) (1, 2, 4) son linealmente dependientes o independientes? Que teorema de esta seccion es particularmente aplicable en este ejercicio? a(1, 2, 1) + b(1, 2, 2) + c(1, 2, 3) + d(1, 2, 4) = (0, 0, 0) ( a + b + c + d, 2a + 2b + 2c + 2d, a + 2b + 3c + 4d) = (0, 0, 0) 3 Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones a + b + c + d = 02a + 2b + 2c + 2d = 0 a + 2b + 3c + 4d = 0 Este sistema es reducible a un sistema de dos ecuaciones lineales dado que la segunda ecuacion es 2 veces la primera, desde aqui ya sabemos que es imposible que sea linealmente independiente en R3 porque este espacio vectorial es de dimension 3 y solo contamos con dos ecuaciones independientes. Resolviendo tenemos que a = c+ 2d, b = −2c− 3d, es decir, los escalares dependen entre śı, de esta manera existen infinitas soluciones diferentes a la trivial. Por lo tanto, los vectores (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3) y (1, 2, 4) son linealmente dependientes. Igualmente podemos usar el teorema 1.8, el cual enuncia lo siguiente: ”n+1 vectores U1, U2, ..., Un+1 ∈ Rn son linealmente dependientes”. En nuestro caso tenemos 4 vectores de dimension 3 en el espacio vectorial R3, por lo tanto, los vectores son linealmente dependientes. 1.43 Sean U = (3, 7, 6, 9, 4) V = (2, 7, 0, 1,−5) Muestre que el vector (−1 2 ,−7 2 , 3, 7 2 , 7) es una combinacion lineal de U y V . a(3, 7, 6, 9, 4) + b(2, 7, 0, 1,−5) = (−1 2 ,−7 2 , 3, 7 2 , 7) (3a + 2b, 7a + 7b, 6a, 9a + b, 4a− 5b) = (−1 2 ,−7 2 , 3, 7 2 , 7) Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones 3a + 2b = − 12 7a + 7b = − 72 6a = 3 9a + b = 72 4a− 5b = 7 Entonces a = 12 y b = −1 y representando este vector como combinacion lineal queda como (−1 2 ,−7 2 , 3, 7 2 , 7) = 1 2 (3, 7, 6, 9, 4)− (2, 7, 0, 1,−5) 4 1.44 El conjunto de puntos (x, y, z) en R3 satisfacen −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1, es un cubo solido. Escribe las coordenadas de los ocho puntos de las esquinas del cubo. ¿Existe una función lineal que sea igual a 8 en cada esquina? Las coordenadas del cubo seŕıan (1, 1, 1) (−1,−1,−1) (−1, 1, 1) (1,−1,−1) (−1,−1, 1) (1, 1,−1) (−1, 1,−1) ( 1,−1, 1) 1.45 Una funcion de Rn a R esta definida como f(U) = c1u1 + c2u2 + ... + cnun donde U = (u1, u2, ..., un) y c1, ..., cn son numeros. (a) Muestre que f(cU)=cf(U) para todo vector U y numeros c. f(cU) = cc1u1 + cc2u2 + ... + ccnun = c(c1u1 + c2u2 + ... + cnun) = cf(U) (b) Muestre que para todos los vectores U y V en Rn, f(U+V)= f(U)+f(V). f(U + V ) = c1(u1 + v1) + c2(u2 + v2) + ... + cn(un + vn) = c1u1c1v1 + c2u2 + c2v2 + ... + cnun + cnvn = (c1u1 + c2u2 + ... + cnun) + (c1v1 + c2v2 + ... + cnvn) = f(U) + f(V ) 1.46 Sea U = (1, 3, 1) y V = (2, 2, 2). Exprese W = (3, 5, 3) como combinacion lineal de U y V . W = aU + bV (3, 5, 3) = a(1, 3, 1) + b(2, 2, 2) = (a, 3a, a) + (2b, 2b, 2b) = (a + 2b, 3a + 2b, a + 2b) Ahora resolvamos el sistema de ecuaciones a + 2b = 3 3a + 2b = 5 a + 2b = 3 5 Entonces a = 1 y b = 1 y representando este vector como combinacion lineal queda como (3, 5, 3) = (1, 3, 1) + (2, 2, 2) 1.47 Muestre que los vectores (1, 1, 1), (1, 2, 3) y (3, 2, 1) son linealmente dependientes. a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3) + c(3, 2, 1) = (0, 0, 0) (a + b + 3c, a + 2b + 2c, a + 3b + c) = (0, 0, 0) Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones a + b + 3c = 0a + 2b + 2c = 0 a + 3b + c = 0 Entonces a = −b − 3c, b = c y c = −a4 , esto es existen escalares a, b, c distintos de cero que cumplen el sistema de ecuaciones, es decir, existen infinitas maneras de expresar al vector cero como combinacion lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 2, 3) y (3, 2, 1). Por lo tanto, son linealmente dependientes. 1.48 Sea P el conjunto de todos los puntos (x, y, 0, 0) y Q el conjunto de todos los puntos (0, 0, z, w) en R4. ¿Cuantos puntos en comun tienen P y Q? Buscamos todos los puntos en comun de P y Q, es decir, una intersección, para ello igualaremos los vectores P y Q P = Q (x, y, 0, 0) = (0, 0,z, w) Asi, construimos el siguiente sistema de ecuaciones lineales x = 0 y = 0 0 = z 0 = w Donde, la solucion es x = 0, y = 0, z = 0 y w = 0, de esta manera, el unico punto que tienen en comun P y Q es el origen trivial del sistema de coordenadas en R4: (0, 0, 0, 0). 1.49 Sea X = (x1, x2, ..., xn) y Y = (y1, y2, ..., yn) en Rn ¿Cuales de las siguientes funciones son bilineales? De las funciones bilineales, ¿cuales son simetricas: b(X,Y)=b(Y,X)? y ¿cuales son antisimetricas b(X,Y)=- b(Y,X)? a) b(X,Y ) = x1 yn 6 b) b(X,Y ) = x1 yn − xn y1 c) b(X,Y ) = √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n d) b(X,Y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn Veamos la bilinealidad de a) b(X,Y ) = x1 yn Linealidad en la primera entrada b(a1X + a2W,Y ) = (ax1 + a2w1) yn = (a1x1 yn) + (a2w1 yn) = a1(x1 yn) + a2(w1 yn) = a1b(X,Y ) + a2b(X,Y ) Linealidad en la segunda entrada b(X, a1Y + a2W ) = x1(a1yn + a2wn) = (x1 a1yn) + (x1 a2wn) = a1(x1 yn) + a2(x1 wn) = ab(X,Y ) + a2b(X,W ) Por lo tanto, b(X,Y ) = x1 yn es una funcion bilineal. Ahora veamos si la funcion es simetrica o antisimetrica. b(X,Y ) = x1 yn y b(Y,X) = y1 xn x1 yn 6= y1 xn y x1 yn 6= −y1 xn Por lo tanto, b(X,Y ) = x1 yn no es simetrica ni antisimetrica. Veamos la bilinealidad de b) b(X,Y ) = x1 yn − xn y1 Linealidad en la primera entrada b(a1X + a2W,Y ) = (ax1 + a2w1) yn − (a1xn + a2wn)y1 = (a1x1 yn) + (a2w1 yn)− (a1xn y1)− (a2wn y1) = a1(x1 yn − xn y1) + a2(w1 yn − wn y1) = a1b(X,Y ) + a2b(W,Y ) Linealidad en la segunda entrada b(X, a1Y + a2W ) = x1(a1yn + a2wn)− xn(a1y1 + a2w1) = (x1 a1yn) + (x1 a2wn)− (xn a1y1)− (xna2w1) = a1(x1 yn − xn y1) + a2(x1 wn − xn w1) = ab(X,Y ) + a2b(X,W ) Por lo tanto, b(X,Y ) = x1 yn − xn y1 es una funcion bilineal. 7 Ahora veamos si es simetrica b(X,Y ) = x1 yn − xn y1 y b(Y,X) = y1 xn − yn x1 x1 yn − xn y1 6= y1 xn − yn x1 y x1 yn − xn y1 = −(y1 xn − yn x1) b(X,Y ) = −b(Y,X) Entonces, la funcion b(X,Y ) = x1 yn − xn y1 es antisimetrica. Veamos la bilinealidad de c) b(X,Y ) = √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n Linealidad en la primera entrada b(a1X + a2W,Y ) = √ (a1x1 + a2w1)2 + (a1x2 + a2w2)2 + ... + (a1xn + a2wn)2 √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n 6= a1 √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n + a2 √ w21 + w 2 2 + ... + w 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n 6= a1b(X,Y ) + a2b(W,Y ) Linealidad en la segunda entrada b(X, a1Y + a2W ) = √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ (a1y1 + a2w1)2 + (a1y2 + a2w2)2 + ... + (a1yn + a2wn)2 6= a1 √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n + √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 na2 √ w21 + w 2 2 + ... + w 2 n 6= a1b(X,Y ) + a2b(X,W ) Por lo tanto, b(X,Y ) = √ x21 + x 2 2 + ... + x 2 n √ y21 + y 2 2 + ... + y 2 n no es una funcion bilineal. Veamos la bilinealidad de d) b(X,Y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn Linealidad en la primera entrada b(a1X + a2W,Y ) = (ax1 + a2w1) y1 + (a1x2 + a2w2)y2 + ... + (a1xn + a2wn)yn = ax1 y1 + a2w1 y1 + a1x2 y2 + a2w2 y2 + ... + a1xn yn + a2wn yn = a1(x1 y1 + x2 y2 + ...xn yn) + a2(w1 y1 + w2 y2 + ... + wn yn) = a1b(X,Y ) + a2b(W,Y ) Linealidad en la segunda entrada b(X, a1Y + a2W ) = x1 (a1y1 + a2w1) + x2(a1y2 + a2w2) + ... + xn(a1yn + a2wn) = x1 a1y1 + x1a2w1 + x2a1 y2 + x2a2w2 + ... + xn a1yn + xn a2wn = a1(x1 y1 + x2 y2 + ...xn yn) + a2(x1 w1 + x2 w2 + ... + xn wn) = a1b(X,Y ) + a2b(X,W ) Por lo tanto, b(X,Y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn es una funcion bilineal. Ahora veamos si es simetrica b(X,Y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn y b(Y,X) = y1 x1 + y2 x2 + ... + yn xn x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = y1 x1 + y2 x2 + ... + yn xn b(X,Y ) = b(Y,X) Entonces, la funcion b(X,Y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn es simetrica. 8 1.50 Sea U = (u1, u2, u3, u4), V = (v1, v2, v3, v4) yW = (w1, w2, w3, w4). ¿Cuales de las siguientes funciones f tienen la propiedad de antisimetria f(U, V,W ) = −f(V,U,W )? a) f(U, V,W ) = u1 v1 w1 b) f(U, V,W ) = u3 w3 − v1 w2 c) f(U, V,W ) = (u3 v3 − u3 v2)w4 Vemos que funciones cumplen la propiedad antisimetrica: f(U, V,W ) = u1 v1 w1 f(U, V,W ) = u1 v1 w1 y f(V,U,W ) = v1 u1 w1 como u1 v1 w1 6= −(v1 u1 w1) Entonces f(U, V,W ) 6= −f(V,U,W ) Por lo tanto, f(U, V,W ) = u1 v1 w1 no es una función bilineal antisimetrica. f(U, V,W ) = u3 w3 − v1 w2 f(U, V,W ) = u3 w3 − v1 w2 y f(V,U,W ) = v3 w3 − u1 w2 como u3 w3 − v1 w2 6= −(v3 w3 − u1 w2) Entonces f(U, V,W ) 6= −f(V,U,W ) Por lo tanto, f(U, V,W ) = u3 w3 − v1 w2 no es una función bilineal antisimetrica. f(U, V,W ) = (u3 v3 − u3 v2)w4 f(U, V,W ) = (u3 v3 − u3 v2)w4 y f(V,U,W ) = (v3 u3 − v3 u2)w4 como (u3 v3 − u3 v2)w4 v1 = −(v3 u3 − v3 u2)w4 Entonces f(U, V,W ) = −f(V,U,W ) Por lo tanto, f(U, V,W ) = (u3 v3 − u3 v2)w4 es una función bilineal antisimetrica. 1.51 Sea U = (u1, u2, u3) y V = (v1, v2, v3). ¿Cuales funciones bilineales b tienen la propiedad simetrica b(U, V ) = b(V,U)? a) b(U, V ) = 10u1 v1 b) b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 c) b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 d) b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 9 Veamos que funciones bilineales cumplen la propiedad simetrica: b(U, V ) = 10u1 v1 b(U, V ) = 10u1 v1 y b(V,U) = 10v1 u1 como 10u1 v1 = 10v1 u1 Entonces b(U, V ) = b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = 10u1 v1 es una funcion bilineal simetrica. b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 y b(V,U) = v1 u2 − v2 u1 como u1 v2 − u2 v1 6= v1 u2 − v2 u1 Entonces b(U, V ) 6= b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 es una funcion bilineal no simetrica. b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 y b(V,U) = v1 u3 + v2 u2 + 10v3 u1 como u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 6= v1 u3 + v2 u2 + 10v3 u1 u3 v1 6= v3 u1 Entonces b(U, V ) 6= b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = 10u1 v1 es una funcion bilineal no simetrica. b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 y b(V,U) = v1 u3 + 10v2 u2 + v3 u1 como u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 6= v1 u3 + 10v2 u2 + v3 u1 u3 v1 6= v3 u1 Entonces b(U, V ) 6= b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 es una funcion bilineal no simetrica. 1.52 Sea U = (u1, u2, u3) texty V = (v1, v2, v3). ¿Cuales de las siguientes funciones bilineales b tienen la propiedad antisimetrica b(U, V ) = −b(V,U)? a) b(U, V ) = 10u1 v1 b) b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 10 c) b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 d) b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 Vemos que funciones cumplen la propiedad antisimetrica: b(U, V ) = 10u1 v1 b(U, V ) = 10u1 v1 y b(V,U) = 10v1 u1 como 10u1 v1 6= −(10v1 u1) Entonces b(U, V ) 6= −b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = 10u1 v1 es una funcion bilineal no antisimetrica. b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 y b(V,U) = v1 u2 − v2 u1 como u1 v2 − u2 v1 = −(v1 u2 − v2 u1) Entonces b(U, V ) = −b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = u1 v2 − u2 v1 es una funcion bilineal antisimetrica. b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 b(U, V ) = u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 y b(V,U) = v1 u3 + v2 u2 + 10v3 u1 como u1 v3 + u2 v2 + 10u3 v1 6= −(v1 u3 + v2 u2 + 10v3 u1) u3 v1 6= −(v3 u1) Entonces b(U, V ) 6= −b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = 10u1 v1 es una funcion bilineal no antisimetrica. b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 y b(V,U) = v1 u3 + 10v2 u2 + v3 u1 como u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 6= −(v1 u3 + 10v2 u2 + v3 u1) u3 v1 6= −(v3 u1) Entonces b(U, V ) 6= −b(V,U) Por lo tanto, b(U, V ) = u1 v3 + 10u2 v2 + u3 v1 es una funcion bilineal no antisimetrica. 11
