problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (295)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
con lo cual, la matriz P también la podemos hallar de la forma:
P =
α1 β1 γ1α2 β2 γ2
α3 β3 γ3
 =
1 −1 01 0 2
0 2 5
−1 0 1 31 1 1
1 1 0
 = . . . =
 3 −1 −73 −2 −10
−1 1 4
 .
4. Sean B = {u1, . . . , un} y B′ = {u′1, . . . , u′n}, y supongamos que
u′1 = p11u1 + . . .+ p1nun
. . .
u′n = pn1u1 + . . .+ pnnun.
(1)
Sea [x]B = (x1, . . . , xn)
t y [x]B = (x
′
1, . . . , x
′
n)
t, entonces, x = x1u1 + . . . +
xnun y x = x
′
1u
′
1 + . . .+ x
′
nu
′
n. Usando las relaciones (1) :
x1u1 + . . .+ xnun = x
′
1(p11u1 + . . .+ p1nun) + . . .+ x
′
npn1u1 + . . .+ pnnun)
= (x′1p11 + . . .+ x
′
npn1)u1 + . . .+ (x
′
1p1n + . . .+ x
′
npnn)un.
Las coordenadas de un determinado vector con respecto a una determinada
base (en este caso la B), son únicas, por tanto:
x1 = p11x
′
1 + . . .+ pn1x
′
n
. . .
xn = p1nx
′
1 + . . .+ pnnx
′
n,
y estas relaciones se pueden escribir matricialmente en la forma:x1...
xn
 =
p11 . . . pn1... ...
p1n . . . pmn

x
′
1
...
xn
 .
Es decir, queda [x]B = P [x]B′ , en donde para todo j = 1, . . . , n, la columna
j-ésima de P son las coordenadas de u′j con respecto de la base B.
5. a) Como B′ es base de E, sus n vectores son linealmente independientes,
lo cual implica que lo son los n vectores columna de P. El rango de la matriz
P, que es de orden n× n es n, luego P es invertible.
b) Se deduce del hecho de que si [x]B = P [x]B′ , entonces [x]B′ = P
−1[x]B.
9.29. Ecuaciones de los subespacios
1. Hallar la dimensión y una base del subespacio vectorial F de R4 determi-
nado por el sistema: 
x1 + x2 + x3 − x4 = 0
x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = 0
−x1 + 5x2 − 4x3 − 17x4 = 0
	Espacios vectoriales
	Ecuaciones de los subespacios