problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (204)

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7.15 Matrices mágicas
5. Construir todas las matrices mágicas. Demostrar que forman un espacio
vectorial sobre R. ¿Cúal es la dimensión de este espacio?
6. Calcular A2, B2, C2, AC,BC,CA,CB. Demostrar que AB +BA es com-
binación lineal de C y de I.
7. ¿ Cuál es la condición necesaria y suficiente para que el producto de dos
matrices mágicas sea mágica?. Determinar todas las matrices mágicas que
son producto de dos mágicas.
8. Demostrar que el producto de una matriz mágica por una combinación
lineal de I y de C es mágica.
9. Demostrar que las potencias pares de una matriz mágica no son matrices
mágicas (salvo un caso particular a precisar), pero las potencias impares de
una matriz mágica son siempre mágicas.
10. ¿Cuando una matriz mágica es invertible? En su caso hallar la inversa
¿Es la inversa una matriz mágica? Estudiar si son mágicas las potencias
negativas de una matriz mágica.
Solución. 1. Supongamos que M se puede descomponer en la forma M =
M1 +M2 con M1 simétrica y M2 antisimétrica. Transponiendo:
M = M1 +M2
M t = M1 −M2.
Resolviendo, obtenemos necesariamente:
M1 =
1
2
(M +M t), M2 =
1
2
(M −M t).
Es claro que M = M1 + M2. Veamos que la matriz M1 es simétrica y que
M2 es antisimétrica:
M t1 = [(1/2)(M +M
t)]t = (1/2)[M t + (M t)t] = (1/2)[M t +M ] = M1,
M t2 = [(1/2)(M −M t)]t = (1/2)[M t − (M t)t] = (1/2)[M t −M ] = −M2.
2. La verificación de estas propiedades es inmediata a partir de la definición
de matriz mágica. Claramente A,B,C son mágicas.
3. Cualquier matriz antisimétrica M2 de orden 3× 3 es de la forma:
M2 =
 0 −γ βγ 0 −α
−β α 0
 (α, β, γ ∈ R).
La matriz será mágica śı, y solamente si:
β − γ = γ − α = α− β = γ − β = α− γ = β − α = 0.
Resolviendo el sistema obtenemos: