problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (316)

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10.3 Núcleo e imagen de una aplicación lineal
10.3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal
1. Se considera la aplicación lineal f : R3 → R4 :
f(x, y.z) = (x+ 2y − z, −x+ y + 2z, 3y + z, 3x− 5z).
Hallar unas bases de ker f e Im f.
2. Sea D : R[x] → R[x] la aplicación lineal definida dada por D(p) = p′
(derivada de p). Determinar kerD e ImD.
3. Se considera la aplicación
f : Rn×n → Rn×n, f(X) = X −XT
en donde XT representa la traspuesta de X.
1) Demostrar que f es lineal.
2) Determinar ker f e Im f.
4. Sea f : E → F lineal e inyectiva. Demostrar que si S = {v1, . . . , vp} ⊂ E
es sistema libre, también f(S) es sistema libre.
5. Sea f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que:
a) ker f es subespacio vectorial de E.
b) Im f es subespacio vectorial de F.
6. Sea f : E → F una aplicación lineal, E1 subespacio de E y F1 subespacio
de F. Demostrar que
(i) La imagen directa de E1, es decir f(E1), es subespacio de F.
(ii) La imagen inversa de F1, es decir f
−1(F1), es subespacio de E.
(iii) Particularizar para E1 = E y F1 = {0}.
7. Definir dos endomorfismos en R[x], uno inyectivo pero no sobreyectivo y
otro sobreyectivo pero no inyectivo. ¿Es posible alguna de las dos situaciones
anteriores para un espacio vectorial E de dimensión finita?
Solución. 1. Tenemos
(x, y, z) ∈ ker f ⇔ f(x, y, z) = (0, 0, 0, 0)
⇔

x+ 2y − z = 0
−x+ y + 2z = 0
3y + z = 0
3x− 5z = 0.