problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (350)

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10.12 Cambio de base, matrices equivalentes
2. La matrices de cambio de BR2 a B
′
R2 y de BR3 a B
′
R3 son respectivamente
P =
[
1 1
1 −1
]
, Q =
1 1 10 1 1
0 0 1
 .
La matriz pedida es por tanto:
Q−1AP = . . . =
1
2
[
3 2 8
−1 −2 −2
]
.
3. Tenemos que hallar la matriz de T con respecto a la base canónica en el
espacio inicial y la misma en el espacio final.
Primer método. Usemos el conocido teorema del cambio de base para apli-
caciones lineales. Llamemos E = F = R2 y consideremos las bases:
BE = {u1 = (2,−1), u2 = (3, 1)}, BF = {v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)}.
Se verifica {
T (u1) = v1 + v2
T (u2) = 2v1 + 4v2,
La matriz de T en las bases BE y BF es por tanto:
A =
[
1 2
1 4
]
.
Elijamos como nuevas bases B′E = B
′
F = {v1, v2}, es decir la canónica tanto
en el espacio inicial como en el final. Tenemos:{
u1 = 2v1 − v2
u2 = 3v1 + v2,
{
v1 = v1
v2 = v2.
Despejando v1 y v2 en la dos primeras igualdades:{
v1 = (1/5)v1 + (1/5)v2
v2 = (−3/5)u1 + (2/5)u2,
{
v1 = v1
v2 = v2.
En consecuencia, las matrices de cambio P (de BE a B
′
E) y Q (de BF a B
′
F )
son
P =
1
5
[
1 −3
1 2
]
, Q =
[
1 0
0 1
]
,
y la matriz pedida es
Q−1AP = I−1 ·
[
1 2
1 4
]
· 1
5
[
1 −3
1 2
]
=
1
5
[
3 1
5 5
]
.