problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (541)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
4. Demostrar que una matriz A es ortogonal si, y sólo si sus vectores colum-
nas forman un sistema ortonormal con el producto escalar usual.
5. Determinar los valores de s y t para los cuales es ortogonal la matriz
A =
1
7
2 t s3 s 2
s −2 t
 .
6. Demostrar que cualquier matriz ortogonal de orden 2 tiene alguna de las
dos formas [
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
,
[
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
]
7. Demostrar que en un espacio eucĺıdeo de dimensión finita, la matriz de
cambio de una base ortonormal a otra ortonormal es ortogonal.
8. Si A y B son matrices ortogonales y del mismo orden, entonces AB y BA
también son matrices ortogonales, pero no siempre la suma lo es. Se trata
de encontrar todas las parejas de matrices ortogonales de orden dos y de
orden tres tales que S = A+B sea ortogonal.
(a) Supongamos que B es la matriz identidad de orden dos (B = I). Deter-
minar todas las matrices ortogonales de orden dos A de manera que la suma
S = A+ I sea ortogonal.
(b) Supongamos que B es una matriz ortogonal dada de orden dos (no nece-
sariamente la identidad). Determinar todas las matrices ortogonales A tales
que S = A+B sea ortogonal.
Indicación. Multiplicar por la izquierda por BT los dos miembros de la igual-
dad.
(c) Las mismas cuestiones suponiendo matrices de orden tres.
Solución. 1. (a) Si A es ortogonal, A−1 = At. Multiplicando por A a la
derecha queda I = AtA. Rećıprocamente, si AtA = I, por la definición y
unicidad de la inversa, A−1 = At.
(b) Usando el apartado anterior
M tM =
[
cosα senα
− senα cosα
] [
cosα − senα
senα cosα
]
=
[
cos2 α+ sen2 α 0
0 sen2 α+ cos2 α
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Es decir, M es matriz ortogonal.
N tN =
1
3
 2 2 1−2 1 2
1 −2 2
 1
3
2 −2 12 1 −2
1 2 2
