problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (646)

Vista previa del material en texto

16.9 Miscelánea de polinomios
Es decir, toda ráız de x3 − 1 lo es de (x − 1)f(x) luego x3 − 1 divide a
(x− 1)f(x).
2. La condición impuesta equivale a que existe a ∈ C tal que el polinomio
x2 + ax + 1 divide a P (x). Efectuando la división eucĺıdea de P (x) entre
x2 + ax+ 1, obtenemos como resto
R(x) =
(
a4 − 3a2 − 208
)
x+ a3 − 2a+ λ,
y los dos coeficientes han de ser nulos. Resolviendo la ecuación bicuadrada
a4 − 3a2 − 208 = 0
obtenemos las soluciones a = ±4 y a = ±
√
13i. Sustituyendo a = ±4 en
a3 − 2a+ λ = 0 obtenemos λ = ±56 y sustituyendo a = ±
√
13i obtenemos
valores complejos de λ. La solución es por tanto λ = ±56.
3. Los polinomios de Z3[x], f(x) = x4 + 2x y g(x) = x2 + 2x son distintos,
sin embargo,
f(0) = 0, f(1) = 1 + 2 = 0, f(2) = 1 + 1 = 2,
g(0) = 0, g(1) = 1 + 2 = 0, g(2) = 1 + 1 = 2.
Es decir, f y g determinen la misma función de Z3 en Z3.
4. Si P (x) + 1 es divisible por (x − 1)3 entonces (P (x) + 1)′ = P ′(x) es
divisible por (x − 1)2. De manera análoga, P ′(x) es divisible por (x + 1)2.
Dado que (x− 1)2 y (x+ 1)2 son primos entre śı, ha de ser
P ′(x) = α(x− 1)2(x+ 1)2 = α(x2 − 1)2 (α ∈ R).
Entonces, P (x) es necesariamente de la forma
P (x) = α
(
x5
5
− 2x
3
3
+ x
)
+ β.
Como P (x)+1 es divisible por (x−1)3 y P (x)−1 por (x+1)3, P (1)+1 = 0
y P (−1)− 1 = 0. Es decir
{
P (1) = −1
P (−1) = 1
⇔

α
(
1
5
− 2
3
+ 1
)
+ β = −1
α
(
−1
5
+
2
3
− 1
)
+ β = 1
⇔
α = −
15
8
β = 0.
El polinomio pedido es por tanto
P (x) = −15
8
(
x5
5
− 2x
3
3
+ x
)
.
	Polinomios en una variable
	 Descomposición en suma de productos de raíces