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Caṕıtulo 14. Producto escalar Queda por tanto f(x1, x2, x3) = 9(x1 − x3)2 + 4(x2 + 2x3)2 − 36x23. 4. Tenemos f(x1, x2, 1) = 9(x1− 1)2 + 4(x2 + 2)2− 36, por tanto la curva C tiene por ecuaciones: C ≡ (x1 − 1) 2 4 + (x2 + 2) 2 9 = 1 x3 = 1. En consecuencia es una elipse contenida en el plano x3 = 1, de centro (1,−2, 0) y semiejes a = 2, b = 3. Hallemos la ecuación del cono. La rec- tas que pasan por el origen y que no son paralelas al plano x3 = 1 son de la forma X1/λ = X2/µ = X3/1 o equivalentemente de la forma X1 = λX3, X2 = µX3. Obligando a que corten a la directriz:(λX3 − 1) 2 4 + (µX3 + 2) 2 9 = 1 X3 = 1. Eliminando X3 de las dos igualdades anteriores obtenemos 9(λ−1)2 +4(µ+ 2)2 = 36. Esta última relación proporciona la condición que han de cumplir las rectas X1 = λX3, X2 = µX3 para que pertenezcan al cono. Sustituyendo en esta relación λ por X1/X2 y µ por X2/X3, obtenemos la ecuación del cono: 9(X1 −X3)2 + 4(X1 + 2X3)2 − 36X23 = 0. 14.34. Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales Sea E el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n y entradas reales. Se considera el producto escalar 〈A,B〉 = tr ABt, ∀A.B ∈ E. Sea W el subespacio de E formado por las matrices diagonales. Determinar W⊥, y hallar su dimensión. Solución. Sea X ∈ E. Para queX pertenezca a W⊥ es necesario y suficiente que X sea ortogonal a los elementos de una base de W. Elijamos B = {D1, D2, . . . , Dn} como base de W siendo: D1 = 1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... 0 0 . . . 0 , D2 = 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... 0 0 . . . 0 , . . . , Dn = 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... 0 0 . . . 1 Producto escalar Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales