Entretenimiento 05 - S03

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ENTRETENIMIENTO 05 - 15/10/2022 
 
APLICACIONES A LAS EDO 
 
 
 
Definición: Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función 
incógnita. 
 
Ejemplos: de Ecuaciones Diferenciales: 
 
1) 6 2
dy
x
dx
= − 2) 
2
2
d y dy
m mg K
dt dt
= − 
 
3) 
3 2 0y dx x dy− = 4) 
3
2
2
( ) cos ( )
d y dy
sen x x
dx dx
 
− = 
 
 
 
5) 
2 2 2
2 2 2
0
d w d w d w
dx dy dz
+ + = donde ( ; ; )w f x y z= 
 
Clasificación de las ED: Se clasifican de dos tipos y son 
 
1°) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Cuando la función incógnita depende de una 
sola variable independiente, en la cual aparece solo derivadas ordinarias. 
 
Ejemplos: 
 
a) 
2
2
d x
m Kx
dt
= − b) 
2
2 2 2
2
2 ( ) 0
d y dy
x x p y
dx dx
+ + − = 
 
A las EDO se representa mediante la expresión: 
 
2
2
; ; ; ;...; 0
n
n
dy d y d y
F x y
dx dx dx
 
= 
 
 
 
2°) Ecuaciones Diferenciales Parciales: Cuando la función incógnita depende de varias 
variables independientes, en la cual aparecen derivadas parciales. 
2
2
2
d z dz
x y
dx dy
− = + EDP 
 
Ejemplos: 
 
a) 
2 2
2 2
; .
d z d z
Kxy K Cte
dx dy
+ = = b) 
2
2
0
d w dw dw
dx dt dy
+ + = 
 
EDO – MÉTODOS DE SOLUCIÓN 
 
1. EDO de Variable Separable: La ecuación diferencial ( ; ; ) 0
dy
F x y
dx
= despejamos la derivada 
dy
dx
 es decir de la forma: ( , )
dy
g x y
dx
= podemos expresar de la forma: ( ) ( ) 0M x dx N y dy+ = 
 
Donde: ( )M x es una función solo de x 
 ( )N y es una función solo de y 
 
La solución general se obtiene integrando en forma directa. ( ) ( )M x dx N y dy C+ =  
 
Ejemplo 01: Calcule la ED 
2 2 0x y y xe dx e dy− −+ = 
Solución: 
2
2 2 4 2
2
( ) ( )
0 0 0
x y
x y y x x y
x y
M x N y
e e
e e dx e e dy dx dy e dx e dy
e e
− −
− −
+ =  + =  + = Es una EDO de VS 
Ahora integramos término a término: 
4 2
4 2 4 21 1(4 ) (2 )
4 2 4 2
x y
x y x y e ee dx e dy C e d x e d y C C+ =  + =  + =    
 
Por tanto: 
4 22x ye e K+ = 
 
Ejemplo 02: Calcule la EDO 
2
; (3) 1
1
dy x y y
y
dx y
−
= =
+
 
Solución: 
2
2 2( 1) 1 1( 1) ( 1) 0
1
dy x y y y
dy x dx x dx dy
dx y y y
− + +
=  = −  − − =
+
 Es una EDO de VS 
 
Integramos términos a término: 
3
2 1( 1) ln ( )
3
y x
x dx dy C x y y C
y
+
− − =  − − − =  Por CI (3) 1y = 
3(3)
3 1 ln (1) 9 4 5
3
C C C− − − =  − =  = 
Por tanto: 
3
ln ( ) 5
3
x
x y y− − − = 
 
Ejemplo 04: Resolver la EDO 
2 2 2 2 2 24 ( 9 )
dy
x y x x y y
dx
− = − 
Solución: 
2 2 2 2 2 2 2 2( 4) ( 9) ( 4) ( 9)
dy
x y y x x y dx y x dy
dx
− = −  − = − Multiplicando en aspa 
2 2
2 2
( ) ( )
0
( 9) 4
M x N y
x y
dx dy
x y
 
+ − = 
− − 
 Es una EDO de VS, ahora integramos término a término 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
( 9 9) ( 4 4)
9 4 9 4
x dx y dy x dx y dy
C C
x y x y
− + − +
− =  − =
− − − −   
 
 
2 2
1 3 1 2
9 4 9 ln 4 ln
9 4 2(3) 3 2(2) 2
dx dy x y
dx dy C x y C
x y x y
    − − 
+ − − =  + − − =    
− − + +      
    
 
Por tanto: 
3 3 2
ln ln
2 3 2
x y
x y C
x y
 − − 
+ − − =  
+ +   
 
 
Ejemplo 05: Resolver la EDO 
2
( ) (2 1) 0x y ye sen x dx y e dy+ −+ + = 
Solución: 
2
( ) ( )
( ) (2 1) 0x y y
M x N y
e sen x dx y e dy− −+ + = Es una EDO de VS 
 
2
( ) (2 1)x y y
P Q
e sen x dx y e dy C− −+ + =  … ( ) Integramos por separado 
 
*) Integramos P: 
( )xP e sen x dx=  
( ) cos ( )
x xu e du e dx
dv sen x dx v x
 =  =

=  = −
 
cos ( ) cos ( )x xP e x e x dx= − +  
cos( ) ( )
x xu e du e dx
dv x dx v sen x
 =  =

=  =
 
cos( ) ( ) ( )x x x
P
P e x e sen x e sen x dx= − + −  
2 cos( ) ( )x xP e x e sen x= − +  
( ) cos ( )
2
x xe sen x e x
P
−
= 
 
Integramos Q: 
2
(2 1) y yQ y e dy− −= + Hacer: 
2 (2 1)u y y du y dy= − −  = − + 
 
2u u y yQ e du e e− −= − = − = − Reemplazamos en ( ) 
 
2 2( ) cos ( )
( ) cos ( ) 2 2
2
x x
y y x x y ye sen x e x e C e sen x e x e C− − − −
−
− =  − − = 
 
Por tanto: 
2
( ) cos( ) 2x x y ye sen x e x e k− −− − = 
 
2. EDO REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE: Las ecuaciones diferenciales de la forma 
siguiente: 
 ( ) ; ; ;
dy
f ax by c a b c
dx
= + +  
 
Para resolver hacemos un cambio de variable 
dz dy
z ax by c a b
dx dx
= + +  = + de donde 
1dy dz
a
dx b dx
 
= − 
 
 
 
Ó 
dz a dx
z ax by c dz a dx bdy dy
b
−
= + +  = +  = 
se reemplaza en la EDO dada y es variable separable. 
Ejemplo 06: Resolver la EDO 
2 3 6
4 6 5
dy x y
dx x y
− −
=
− +
 
Solución: 
Observamos que: 
 
(4 6 5) (2 3 6) (2 3 6) (4 6 5) 0x y dy x y dx x y dx x y dy− + = − −  − − − − + = 
No es una EDO de VS (Por el término independiente) 
 
Hacer:  
1
2 3 6 2 3 2
3
z x y dz dx dy dy dx dz= − −  = −  = − 
 
 2 4 6 12 2 17 4 6 5z x y z x y= − −  + = − + 
 
Reemplazando en la EDO: (2 3 6) (4 6 5) 0x y dx x y dy− − − − + = 
 
   
1
(2 17) 2 0 3 (2 17) 2 0
3
z dx z dx dz z dx z dx dz− + − =  − + − = 
 
3 (4 34) (2 17) 0 ( 34) (2 17) 0z dx z dx z dz z dx z dz− + + + =  − − + + = 
 
( 34) (2 17) 0 ( 34) (2 17) 0z dx z dz z dx z dz− + + + =  + − + = 
 
2 17
0
34
z
dx dz
z
+
− =
+
 Es una EDO de variable separable, Integrando: 
 
2 17 (2 68) 17 68
2 51
34 34 34
z z dz
dx dz c dx dz c dx dz c
z z z
+ + + −
− =  − =  − + =
+ + +      
 
 
2 51ln 34x z z c− + + = Reemplazando la variable original ( 2 3 6)z x y= − − 
 
(4 6 12) 51ln 2 3 28 3 6 12 51ln 2 3 28x x y x y c x y x y c− − − + − + =  − + + + − + = 
 
3 6 51ln 2 3 28x y x y k− − − + = 
 
Por tanto: 2 17ln 2 3 28x y x y k− − − + = 
 
Ejemplo 06: Resolver la EDO (2 ) (4 2 3) 0x y dx x y dy− + − + = 
Solución 
Hacer: 2 2 2z x y dz dx dy dy dx dz= −  = −  = − Reemplazamos en la EDO 
Donde: 2 2 3 4 2 3z x y z x y= −  + = − + 
 
(2 3) (2 ) 0 (4 6) (2 3) 0z dx z dx dz z dx z dx z dz+ + − =  + + − + = 
 
2 3
(5 6) (2 3) 0 0
5 6
z
z dx z dz dx dz
z
+
+ − + =  − =
+
 Es una EDO de VS 
 
2 3 2 3 2 3
ln 5 6
5 6 5 5(5 6) 5 25
z x
dx dz C x dx C x z C
z z
 +
− =  − + =  − − + = 
+ + 
   
 
15 3ln 5 6 15 3ln 10 5 6x z k x x y k− + =  − − + = 
 
Por tanto: 15 3ln 10 5 6x x y k− − + = 
 
Ejemplo 07: Resolver la EDO 
2 2 2
3
3 6
; (3) 1
dy x x y
y
dx y x y
−
= =
−
 
 
 
3. EDO DE ORDEN SUPERIOR: Consideraremos dos casos especiales: 
 
CASO 1: Las Ecuaciones Ordinarias de la forma: ( ) ........(1)
n
n
d y
f x
dx
= 
 
Donde ( )f x es una función solamente con variable " "x 
Para hallar la solución de la EDO (1) se obtiene mediante integraciones sucesivas, es decir: 
 
 
1
11
2
1 22
1
( )
( )
... ( ) ...
n
n
n
n
n
d y
f x dx C
dx
d y
f x dx C dx C
dx
y f x dx C dx C
−
−
−
−
= +
 = + +
 
 = + +
 

 
  
 
 
Ejemplo 08: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 
3
2 3
3
( 2 ) x
d y
x x e
dx
= + 
Solución: 
*) Primera integración: 
3 2
2 3 2 3
1 13 2
( 2 ) ( 2 )x x
d y d y
x x e dx c x x e dx c
dx dx
= + +  = + +   
 
2 2 3 3 3
12
( 2 ) (2 2) 2
3 9 27
x x xd y x x e x e e
c
dx
+ +
= − + + Hacer 
2 3
3
3
3
2
2 2
3
2
9
0
27
x
x
x
x
x x e
e
x
e
e
 +

 + +



−


+

 
2 2 3
12
(9 12 4)
27
xd y x x e
c
dx
+ −
= + 
 
Segunda integración: 
2 3
2 3
1 2 1 2
(9 12 4) 1
(9 12 4)
27 27
x
xdy x x e c dx c x x e dx c x c
dx
 + −
= + + = + − + + 
 
  
 
2 3 3 3
1 2
1 (9 12 4) (6 4) 2
27 3 3 3
x x xdy x x e x e e
c x c
dx
 + − +
= − + + + 
 
 Hacer 
2 3
3
3
3
9 12 4
18 12
3
18
9
0
27
x
x
x
x
x x e
e
x
e
e
 + −

 + +



−


+

 
2 3
1 2
(3 2 2)
27
xdy x x e
c x c
dx
+ −
= + + 
 
Tercera integración: 
22 3
12 3
1 2 3 2 3
(3 2 2) 1
(3 2 2)
27 27 2
x
x
c xx x e
y c x c dx c x x e dx c x c
 + −
= + + + = + − + + + 
 
  
 Hacer 
2 3
3
3
3
3 2 2
6 2
3
6
9
0
27
x
x
x
xx x e
e
x
e
e
 + −

 + +



−


+

 
 
22 3 3 3
1
2 3
1 (3 2 2) (6 6) 2
27 3 9 9 2
x x x c xx x e x e e
y c x c
 + − +
= − + + + + 
 
 
 
2 22 3 2 3
1 1
2 3 2 3
1 (9 10) (9 10)
27 9 2 243 2
x xc x c xx e x e
y c x c c x c
 − −
= + + + = + + + 
 
 
 
Por tanto: 
22 3
1
2 3
(9 10)
243 2
x c xx e
y c x c
−
= + + + 
 
 
Ejemplo 09: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 
3 2' ' ' cos (2 )y x x= 
 
 
Ejemplo 01: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 
3
2
3
xd y xe
dx
= 
Solución: 
*) Primera integración: 
3 2
2 2
1 13 2
x xd y d yxe dx c xe dx c
dx dx
= +  = +   
 
2 2 2 2
2 2
1 12
1
2 2 2 4
x x x
x xd y xe xe exe dx c e dx c
dx
= + = − = − +  Hacer 
2
2
2
x
x
u x dv e dx
e
du dx v
 = =


= =

 
 
Segunda integración: 
2 2
2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1
2 4 2 4
4 8 8 4 4
x x
x x
x x x x x
dy xe e
c dx c xe dx e dx c dx c
dx
xe e e xe e
c x c c x c
 
= − + + = − + + 
 
= − − + + = − + +
   
 
 
Tercera integración: 
22 2 2 2 2
1
1 2 3 2 3
22 2
1
2 3
4 4 8 16 8 2
3
8 16 2
x x x x x
x x
c xxe e xe e e
y c x c dx c c x c
c xxe e
c x c
 
= − + + + = − − + + + 
 
= − + + +

 
 
Por tanto: 
22 2
1
2 3
3
8 16 2
x x c xxe e
y c x c= − + + + 
 
Ejemplo 02: Resolver la siguiente ecuación diferencial ' ' ' ,xy xe−= con condiciones iniciales 
(0) 0 ; '(0) 2 ; ' '(0) 2y y y= = = 
Solución: 
*) Primera integración: 
 
1' '
xy x e dx c−= + x x
u x du dx
dv e dx v e− −
= =

=  = −
 
Reemplazando: 
1 1' ' ' '( )
x x x xy xe e c y x xe e c− − − −= − − +  = − − + Por CI 
 
1' ' (0) 0 3y c=  = Se obtiene: ' ' ( ) 3
x xy x xe e− −= − − + 
 
*) Segunda Integración: 
 
2 2 2' ( ) ( 3) 3 2 3
x x x x x x xy x xe e dx c xe e e x c xe e x c− − − − − − −= − − + + = + + + + = + + + 
 
2'( ) 2 3
x xy x xe e x c− −= + + + Por CI 2 2' (0) 0 2 0 2 0y c c= + + + =  = 
 
Se obtiene: ' ( ) 2 3x xy x xe e x− −= + + 
 
*) Tercera integración: 
 
2 2
3 3 3
3 3
( ) ( 2 3 ) 2 3
2 2
x x x x x x xx xy x xe e x dx c xe e e c xe e c− − − − − − −= + + + = − − − + + = − − + + 
 
Por CI: 3 3(0) 0 3 0 0 3y c c= − + + =  = 
 
Por tanto: 
23
( ) 3 3
2
x x xy x xe e− −= − − + + 
 
Ejemplo 02: Resolver la siguiente ecuación diferencial
2' ' ' ( )cos(2 )y x x x= + con condiciones 
iniciales (0) 0 ; '(0) 2 ; ' '(0) 0y y y= = = 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
I) Resolver las siguientes EDO 
 
01. 
2 21 1 ' 0x y y y y+ + + = 02. 2 2 0x y y xe dx e dy− −+ = 
 
03. 
2 2( 1) ( 2 3 6) 0x y x y dx xy x y dy− + − + + − − = 04. 
2
( ) (2 1) 0x y ye sen x dx y e dy+ −+ + = 
 
MISCELÁNEA 
05. 
2
3(1 )
dy x
dx y x
=
+
 06. 
x
y
dy x e
dx y e
−−
=
+
 
 
07. 
2
; (3) 1
1
dy x y y
y
dx y
−
= =
+
 Rpta: 
3 3 3 3ln 21x x y y− − − = 
 
08. 
2 2 2
3
3 6
; (3) 1
dy x x y
y
dx y x y
−
= =
−
 Rpta: 
3 4 2( 1) (2 1)x k y− = − 
 
09. ; (0) 1
1
dy x x
y
dx y y
= − =
+
 Rpta: 
2 3 23 2 3 5y y x+ = + 
 
10. 
2( ) ( )
; ( ) 0
3 cos ( ) 2
r
r r
dr sen e sen
r
d e e
  
 
+
= =
+
 Rpta: 2 ( ) (cos( ))
2
rarctg e arctg

+ = 
 
II) Resolver las siguientes EDO 
 
01. ( 1) (2 2 3) 0x y dx x y dy+ − + + − = Rpta: 2 ln 2x y x y C+ + + − = 
 
02. 
1
'
5
y x
y
y x
− +
=
− +
 Rpta: 
2( ) 10 2y x y x C− + − = 
 
03. (2 3 1) (4 6 5) 0x y dx x y dy+ − + + − = Rpta: 2 3ln 2 3 7x y x y C+ + + − = 
 
04. (2 ) (4 2 3) 0x y dx x y dy− + − + = Rpta: 5 10 3ln 10 5 6x y x y C+ − − + = 
 
05. (6 3 5) (2 ) 0x y dx x y dy+ − − + = Rpta: 3 ln 2 1x y x y C− = + − + 
 
06. 
2
dy x y
dx x y
+
=
+ +
 Rpta: ln 1y x y x C+ + + = + 
 
III) Resolver las siguientes EDO 
 
01. 
3 2' ' ' xy x e−= 02) 3 2' ' ' cos ( )y x x= 
 
03. 
4
2
4
1 1
cos ( ) ; (0) , '(0) ' '(0) , ' ' '(0) 0
32 8
d y
x y y y y
dx
= = = = = Rpta: 
4 2 cos (2 )
48 8 32
x x x
y = + + 
 
04. 
3
3
( ) ; (0) '(0) 0 , ' '(0) 1
d y
xsen x y y y
dx
= = = = Rpta: 2cos( ) 3 ( ) 2y x x sen x x x= − + +